§ 11 Момент сили відносно осі

Момент сили відносно осі – це алгебраїчна величина, яка дорівнює алгебраїчному моменту проекції сили на площину, перпендикулярну до осі, відносно точки перетину осі з площиною: .

Отже, щоб визначити момент сили відносно осі (рис. 22, а), необхідно:

1. Провести площину, перпендикулярну до осі (на рис. 22, б такою площиною є площина , а точка – це точка перетину осі з площиною).

Рис. 22

2. Вектор сили спроектувати на задану площину. Як відомо (див. додаток 1), проекція сили на площину – це вектор. В даному випадку (рис. 22, б) – це вектор .

3. Отриману проекцію помножити на найкоротшу відстань від точки перетину осі з площиною до лінії дії цієї проекції і вибрати відповідний знак

. (1.16)

Знак вибирається згідно з означенням алгебраїчного моменту сили або з таких міркувань: якщо, дивлячись з кінця осі, спостерігач бачить намагання сили повернути площину проти руху годинникової стрілки, то береться знак “+”; в протилежному випадку – знак “–“. В нашому випадку (рис. 22) треба брати знак “+”.

З формули (1.16) випливає, що момент сили відносно осі дорівнює нулеві в двох випадках:

1. , а це буде тоді, коли сила паралельна до осі (рис. 23, а);

2. – лінія дії сили проходить через вісь (рис. 23, б).

Треба також відзначити, що момент сили відносно осі – це скалярна величина, яка графічно зображується у вигляді відрізка, котрий відкладається вздовж осі. Якщо , то цей відрізок відкладається в додатному напрямі осі (рис. 23, в), при – у від’ємному її напрямі (рис. 23, г).

Рис. 23

Оскільки( див. рис. 22, в) є основою трикутника , а – його висота, то і отримуємо

, (1.17)

момент сили відносно осі чисельно дорівнює подвійній площі трикутника, вершинами якого є початок і кінець вектора проекції сили на площину, перпендикулярну до осі, і точка перетину осі з пло-щиною (рис. 22, в).

§ 12 Залежність між моментом сили відносно точки і моментом сили відносно осі, яка проходить через цю точку

Для встановлення залежності між моментом сили відносно точки й моментом сили відносно осі, котра проходить через задану точку, розглянемо довільну силу , яка прикладена в точці . Візьмемо будь-яку точку , через яку проведемо вісь (рис. 24, а). Визначимо момент сили відносно точки . Як було встановлено, моментом сили відносно точки є вектор , перпендикулярний до площини . Величина цього вектора за формулою (1.14) дорівнює

. (а)

Рис. 24

Вказуємо цей вектор на рисунку (див. рис. 24, б). Тепер визначимо момент сили відносно осі. Для цього силу спроектуємо на площину , яка проходить через точку перпендикулярно до осі . Отримаємо вектор . Як було встановлено, момент сили відносно осі – це скалярна величина, яка чисельно визначається за формулою (див. 1.17)

. (б)

З рисунка 24, б видно, що трикутник є проекцією трикутника на площину . З математики відомо, що площа проекції плоскої фігури на площину дорівнює площі фігури , помноженій на косинус кута між площинами фігури і проекції, тобто

. (в)

Застосувавши рівність (в) до трикутників і і помноживши обидві її частини на 2, дістанемо

,

або

. (г)

В отриманій залежності – це кут між площинами трикутників і . Але кут між двома площинами дорівнює гострому куту між перпендикулярами до цих площин.

Якщо ввести кут між векторним моментом і додатним напрямом осі , то з врахуванням формули (г) можна записати

. (1.18)

Рівність (1.18) дає залежність між моментом сили відносно точки і моментом сили відносно осі, котра проходить через задану точку, згідно з якою маємо:

момент сили відносно осі дорівнює проекції вектора моменту сили відносно точки, що знаходиться на осі, на задану вісь.

Отже, ми отримали ще один спосіб визначення моменту сили відносно осі. Згідно з цим способом, необхідно визначити вектор моменту сили відносно будь-якої точки даної осі і отриманий вектор спроектувати на цю вісь. Даний спосіб в практиці майже не використовується, бо момент сили відносно осі найлегше визначити за формулою (1.16). Зате в теоретичному курсі він часто використовується.