§ 44.2 Теорема про складання швидкостей

Згідно з рис. 107 в кожному положенні точки має місце векторна рівність

(г)

Оскільки –координати точок в рухомій системи координат, а – її орти, то

(д)

Підставляючи (д) в (г), отримаємо

Отриману векторну рівність продиференціюємо за часом. Враховуючи, що є змінними векторами, отримаємо

(e)

Вираз , враховуючи (д), є не що інше, як похідна за часом від радіуса-вектора за умови, що , тобто

.

Аналогічно вираз є похідною від за часом при умові, що

Враховуючи сказане, маємо

. (є)

Оскільки

1) – це абсолютна швидкість точки (див. формулу (а));

2)

3) , адже координати точки є одночасно і координатами точки (див. рис. 107), а для точки вони є постійними;

4) – відносна швидкість точки (див. формулу (б)), то рівність (є) набуває вигляду

За формулою (2.31)

Швидкість точки для точки, що здійснює складний рух, є переносною швидкістю (див. формулу (в)). Остаточно маємо

. (2.58)

Формула (2.58) виражає теорему про складання швидкостей, яка читається так:

абсолютна швидкість точки, яка здійснює складний рух, дорівнює геометричній сумі її переносної і відносної швидкостей.

§ 44.3 Теорема про складання пришвидшень (Теорема Коріоліса)

З попереднього (див. векторну рівність (е)) маємо

Якщо цю рівність ще раз продиференціювати за часом, то отримаємо

(ж)

З’ясуємо зміст кожного доданка отриманої рівності.

1. Оскільки друга похідна за часом від радіуса-вектора є пришвидшення відповідної точки, то – абсолютне пришвидшення точки , яка здійснює складний рух (див. формулу (а)).

– пришвидшення точки .

2. Вираз є не що інше, як друга похідна від за часом за умови, що тобто:

адже до того ж справедливе тільки для точки .

3. Аналогічно вираз є другою похідною від за часом за умови, що , тобто:

4. Вираз позначається і називається додатковим (коріолісовим або поворотним при-швидшенням). Коріолісовим пришвидшення назване в честь французького механіка Гюстава Гаспара Коріоліса (1792-1843), котрим в 1833 р. була виведена теорема, що буде сформульована нижче. Однак треба відзначити, що вперше ця теорема була сформульована Л. Ейлером у 1765 р., потім К.Гаусом у 1803 р. Зміст інших назв вектора виясниться пізніше.

Враховуючи сказане, векторна рівність (ж) набуває вигляду

.

За формулою (2.32) маємо, що

.

Оскільки пришвидшення точки В для точки К є переносним ( , див. формулу (в)), то

.

Згідно з формулою (б)

.

Враховуючи це, остаточно матимемо

. (2.59)

Отримана формула виражає теорему Коріоліса, яка читається так:

абсолютне пришвидшення точки, яка здійснює складний рух, дорівнює геометричній сумі її переносного, відносного і коріолісового пришвидшень.

Якщо отриману формулу (2.59) порівняти з формулою (2.58), яка визначає абсолютну швидкість точки, що здійснює складний рух, то видно, що у формулі (2.59) з’явився додатковий член . Ось чому часто називають вектором додаткового пришвидшення.