- •Рецензенти:
- •76019, Івано-Франківськ, вул. Карпатська, 15 Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу
- •§ 2 Основні поняття теоретичної механіки
- •1 Статика твердого тіла
- •§ 3 Предмет статики твердого тіла
- •§ 4 Основні поняття статики
- •§ 5 В’язі та їх реакції
- •§ 6 Вихідні положення (аксіоми) статики
- •1. Аксіома зрівноваження двох сил.
- •2. Аксіома приєднання і виключення зрівноваженої системи сил.
- •3. Аксіома дії і протидії (ііі-ій закон Ньютона).
- •4. Аксіома накладання додаткових в’язей.
- •5. Аксіома паралелограма.
- •1.1 Система збіжних сил
- •§ 7 Зведення системи збіжних сил до канонічного вигляду
- •1. Геометричний спосіб визначення рівнодійної.
- •2. Аналітичний спосіб визначення рівнодійної.
- •§ 8 Умови і рівняння рівноваги системи збіжних сил
- •1. Геометрична умова рівноваги.
- •2. Аналітичні умови рівноваги. Рівняння рівноваги.
- •§ 9 Алгоритм розв’язання задач на рівновагу
- •Питання для самоконтролю
- •1.2 Теорія моменту сил
- •§ 10 Момент сили відносно точки
- •§ 11 Момент сили відносно осі
- •§ 12 Залежність між моментом сили відносно точки і моментом сили відносно осі, яка проходить через цю точку
- •§ 13 Аналітичне визначення моменту сили відносно довільної точки
- •§ 14 Теорема Варіньйона
- •Питання для самоконтролю
- •1.3 Довільна система сил
- •§ 15 Головний вектор і головний момент системи сил
- •1. Геометричний спосіб
- •2. Аналітичний спосіб
- •§ 16 Пара сил і її момент
- •§ 17 Еквівалентність пар сил
- •§ 18 Додавання пар сил
- •§ 19 Лема про паралельний перенос сили
- •§ 20 Зведення довільної системи сил до заданого центра
- •§ 21 Окремі випадки зведення довільної системи сил
- •§ 22 Інваріанти довільної системи сил
- •§ 23 Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил
- •§ 24 Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил
- •§ 25 Статично означені і статично неозначені задачі
- •§ 26 Рівновага системи тіл
- •Питання для самоконтролю
- •1.4 Деякі спеціальні питання статики
- •§ 27 Тертя ковзання
- •§ 28 Конус тертя. Область рівноваги
- •§ 29 Тертя кочення
- •§ 30 Поняття про ферми
- •Питання для самоконтролю
- •1.5 Система паралельних сил. Центр ваги твердого тіла
- •§ 31 Зведення системи паралельних сил до канонічного вигляду
- •§ 32 Центр ваги твердого тіла
- •1. Центр ваги однорідного тіла (центр ваги об’єму)
- •2. Центр ваги площі однорідного плоского тіла (центр ваги площі)
- •3. Центр ваги однорідного лінійного тіла (центр ваги лінії)
- •§ 33 Центр ваги деяких простих геометричних фігур
- •§ 34 Способи визначення положення центра ваги тіла
- •Питання для самоконтролю
- •2 Кінематика
- •§ 35 Предмет кінематики
- •2.1 Кінематика точки
- •§ 36 Векторний спосіб вивчення руху точки
- •§ 37 Координатний спосіб вивчення руху точки
- •§ 38 Швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах
- •§ 39 Натуральна система координат
- •§ 40 Натуральний спосіб вивчення руху точки
- •§ 41 Класифікація руху точки за її пришвидшеннями
- •Питання для самоконтролю
- •2.2 Кінематика твердого тіла
- •§ 42 Поступальний рух твердого тіла
- •§ 43 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.1 Рівняння обертання тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.2 Рівняння рівномірного і рівнозмінного обертання
- •§ 43.3 Швидкість і пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі
- •§ 43.4 Вектор кутової швидкості
- •§ 43.5 Векторні вирази швидкості, доцентрового і обертального пришвидшень точки тіла при обертальному русі
- •Питання для самоконтролю
- •2.1 Кінематика складного руху точки
- •§ 44 Складний рух точки
- •§ 44.1 Основні поняття і визначення
- •§ 44.2 Теорема про складання швидкостей
- •§ 44.3 Теорема про складання пришвидшень (Теорема Коріоліса)
- •§ 44.4 Коріолісове пришвидшення і його визначення
- •Питання для самоконтролю
- •2.4 Кінематика складного руху твердого тіла
- •§ 45 Складний рух твердого тіла
- •§ 46 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла
- •§ 46.1 Основні поняття і визначення
- •§ 46.2 Рівняння руху плоскої фігури
- •§ 46.3 Рівняння руху точки плоскої фігури
- •§ 46.4 Теорема про швидкості точок плоскої фігури та її наслідок
- •§ 46.5 Миттєвий центр швидкостей
- •§ 46.6 Способи визначення положення миттєвого центра швидкостей
- •§ 46.7 Теорема про пришвидшення точок плоскої фігури
- •§ 46.8 Миттєвий центр пришвидшень
- •Питання для самоконтролю
- •§ 47 Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.1 Кути Ейлера. Рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.2 Теорема Ейлера-Даламбера
- •§ 47.3 Кутова швидкість і кутове пришвидшення тіла, що обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.4 Швидкість точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.5 Пришвидшення точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •Питання для самоконтролю
- •§ 48 Рух вільного твердого тіла
- •Питання для самоконтролю
- •§ 49 Синтез рухів
- •§ 49.1 Складання поступальних рухів твердого тіла
- •§ 49.2 Складання поступального і обертального рухів твердого тіла
- •§ 49.3 Складання обертань навколо осей, що перетинаються
- •§ 49.4 Складання обертань навколо паралельних осей
- •Питання для самоконтролю
- •§ 50 Аналогії між кінематикою і статикою
- •1 Проекція вектора на площину
- •2 Проекція вектора на вісь
- •3 Приклади розв’язування задач на рівновагу тіла
- •4 Додавання двох паралельних сил
- •5 Доведення теореми про еквівалентність пар сил
- •6 Найменше значення головного моменту системи сил
- •Список використаної літератури, деяких підручників і навчальних посібників з теоретичної механіки
- •Предметний покажчик
§ 30 Поняття про ферми
Ферма – це шарнірно-стрижневі геометрично незмінні конструкції.
Деякі варіанти таких конструкцій зображені на рис. 69. Область застосування таких конструкцій надзвичайно різноманітна. За своїм призначенням ферми поділяють на:
1. Мостові ферми (рис. 69, а). Вони використовуються при будівництві мостів.
2. Кроквяні ферми (рис. 69, б), які використовуються як каркаси для підтримування покриття будинків і інших споруд.
3. Кранові ферми (рис. 69, в). Вони використовуються в підйомних механізмах.
Рис. 69
Ферми поділяються на плоскі і просторові. Якщо всі стрижні ферми лежать в одній площині, то ферма називається плоскою, якщо не лежить в одній площині, то – просторовою. Нижче зупинимося на розгляді плоских ферм.
Визначення ферми як шарнірно стрижневої конструкції є ідеалізованим. В реальних фермах стрижні з’єднані жорстко за допомогою заклепок або електрозварювання. До того ж, в теоретичній механіці на ферми накладають і інші умови, які спрощують їх розрахунок. Такими умовами є:
1. Всі стрижні ферми – прямолінійні.
2. Вагою стрижнів нехтується.
3. Шарніри розміщені тільки на кінцях стрижнів.
4. Самі шарніри, що з’єднують стрижні, є ідеальними, тобто тертям в них нехтується.
5. При розгляді плоских ферм всі сили, що діють на ферму, розміщені в площині ферми і прикладені тільки до її вузлів (шарнірів).
При виконанні даних умов кожний стрижень ферми буде зазнавати зусиль, котрі діють вздовж його осі, тобто стрижні ферми будуть працювати тільки на розтяг або на стиск.
З-поміж всього класу ферм виділимо ферми без зайвих стрижнів.
Якщо конструкція ферми така, що з неї не можна зняти ні одного стрижня, не позбавивши її геометрич-но незмінної конструкції, то така ферми називається фермою без зайвих стрижнів.
В
Рис. 70
. (1.65)
Залежність (1.65) є необхідною умовою жорсткості форми, але не достатньою. Для жорсткості ферми без зайвих стрижнів умова (1.65) повинна виконуватися не лише для всієї ферми, але й для кожної гратки ферми.
Для ферм (рис. 71, а і б) , і умова (1.65) ( ) виконується, однак ферма (рис. 71, б) є геометрично змінною. Треба зазначити, що (1.65) є одночасно умовою статичної визначеності ферми.
Рис. 71
Статично визначеною називається ферма, котру можна розрахувати методами статики твердого тіла.
Розрахувати ферму в статиці означає розв’язати дві задачі:
1. Визначити реакції опор ферми.
2. Визначити зусилля в усіх стрижнях ферми.
При розв’язуванні першої задачі розглядають ферму як тверде тіло, що перебуває в рівновазі під дією навантажень, які діють на неї, та реакцій опор.
Розв’язування другої задачі базується на положенні: якщо якась конструкція, в нашому випадку ферма, перебуває в рівновазі, то кожний її елемент (стрижень, вузол, частина ферми) також знаходиться в рівновазі. Це дає змогу задачу на визначення зусиль в стрижнях ферми розв’язувати двома способами: способом вирізання вузлів і способом перерізів ферми (спосіб Ріттера).
Спосіб вирізання вузлів
Цей спосіб полягає в тому, що послідовно вирізається кожний вузол ферми і розглядається його рівновага під дією прикладених до нього навантажень, що діють на ферму, та зусиль розрізаних стрижнів. Система сил, що діють на вирізаний вузол, очевидно, буде плоскою системою збіжних сил, рівнова-га якої забезпечується виконанням умов , або побудовою замкнутого силового багатокутника. Отже, даним способом зусилля в стрижнях ферми можна визначити як аналітично, складаючи рівняння рівноваги, так і геометрично, будуючи замкнуті силові багатокутники. Тут треба пам’ятати, що для плоскої системи сил маємо тільки два рівняння рівноваги, а тому розгляд рівноваги вузлів треба розпочинати з вузла, в якому сходяться тільки два стрижні. Знайшовши зусилля в цих стрижнях, переходять до розгляду рівноваги іншого вузла. Кожний наступний вузол вибирається так, щоб в ньому сходилось не більше двох стрижнів, зусилля в яких невідомі. Тут необхідно знати, що зусилля одного і того ж стрижня на різні вузли за законом дії і протидії діють в протилежні боки.
Розглянувши рівновагу -вузлів, отримаємо рівнянь рівноваги (або побудуємо замкнутих силових багатокутників), з яких можна отримати невідомих. Оскільки кількість стрижнів ферми визначається формулою (1.65), тобто , то рівняння рівноваги вузлів ферми дають змогу визначити і опорні реакції. Тобто, визначаючи зусилля в стрижнях ферми способом вирізання вузлів, можна попередньо не визначати опорні реакції. Однак попереднє визначення реакцій опор ферми суттєво спрощує розв’язання задачі на визначення зусиль в стрижнях ферми способом вирізання вузлів.
Спосіб Ріттера
Для застосування цього способу необхідно попередньо визначити опорні реакції. Спосіб Ріттера полягає в тому, що ферму умовно перерізають на дві частини по стрижнях, зусилля в яких треба визначити. Розглядаючи рівновагу однієї з частин ферми під дією прикладених до неї зовнішніх сил, що діють на ферму, та зусиль розрізаних стрижнів, які фактично реалізують дію відкинутої частини ферми на ту, що розглядається, складають відповідні рівняння рівноваги. Оскільки діюча система сил є плоскою, то складають рівняння рівноваги плоскої системи сил (умови (1.52)-(1.53)). Найчастіше вибираються умови (1.53), які полягають в тому, що для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб суми моментів всіх сил системи відносно трьох довільних точок, які знаходяться в площині дії сил і не лежать на одній прямій, дорівнювали нулеві. Такими точками найчастіше вибираються точки попарного перетину розрізаних стрижнів. Ці точки нази-ваються точками Ріттера. Складені таким способом рівняння рівноваги є незв’язаними і дають змогу визначити зусилля в будь-якому стрижні незалежно від зусиль в інших стрижнях.
Якщо два стрижні з трьох розрізаних паралельні, то відповідна точка Ріттера знаходиться в нескінченності. Тоді вибирають умови рівноваги (1.52), тобто складають два рівняння моментів і одне рівняння проекцій сил на вісь, яка перпендикулярна до паралельних стрижнів.
Зауваження
1. При розрахунку вважають, що розрізані стрижні (на рис. 72 – це стрижні 6, 7, 8) працюють на розтяг, тобто зусилля у цих стрижнях – розтягуючі і зображуються , як вказано на рис. 72. Якщо в дійсності який-небудь стрижень стиснутий, то в результаті розрахунку отримаємо від’ємне число для зусилля в ньому.
2. Оскільки розрахунок зусиль в стрижнях ферми в даному способі проводиться за допомогою рівнянь рівноваги плоскої системи сил (а їх є тільки три), то ферму перерізають на дві частини таким чином, щоб в перерізі було не більше трьох стрижнів, зусилля в яких невідомі.
Рис. 72