3. Центр ваги однорідного лінійного тіла (центр ваги лінії)

Позначимо – вагу одиниці довжини однорідного лінійного тіла. Тоді його вага і вага його елементарної частини визначається за формулами

(в)

де: – довжина тіла; – довжина -ого елемента. Підставляючи (в) у формули 1.69), отримаємо формули, які визначають координати центра ваги лінійного однорідного тіла (наприклад, дроту, стрижневої конструкції і т.ін.)

(1.75)

Під центром ваги лінії розуміють центр ваги тонкого однорідного тіла (стрижня), середня лінія якого співпадає з даною лінією. Координати центра ваги лінії визначаються за формулами (1.75).

§ 33 Центр ваги деяких простих геометричних фігур

Визначимо центри ваги деяких найпростіших геометричних фігур, які часто зустрічаються в практиці і за допомогою яких можна побудувати більш складні фігури.

Але з самого початку доведемо таку теорему:

якщо тіло має елемент симетрії (площину, вісь, центр симетрії), то центр ваги тіла знаходиться на цьому елементі симетрії.

Дану теорему доведемо для тіла, що має площину симетрії. Припустимо, що тіло А (рис. 77) має площину симетрії . Систему координат виберемо так, щоб координатна площина знаходилась в площині симетрії. Тоді вісь буде перпендикулярна до цієї площини. При такому виборі системи координат кожній точці верхньої частини тіла, положення якої визначається координатами ( ), буде відповідати симетрична точка нижньої частини тіла з координатами ( ). Якщо навколо даних точок виділити однакові елементарні об’єми , то отримаємо

(г)

оскільки в сумі всі члени попарно знищуються. Отриманий результат, тобто рівність (г), вказує на те, що центр ваги знаходиться в площині , яка є площиною симетрії тіла.

Рис. 77

Аналогічно можна довести, що центр ваги тіла знаходиться на осі симетрії або в центрі симетрії тіла, якщо воно має відповідні елементи симетрії. Доведення цього положення може базуватись на тому, що вісь симетрії – це лінія перетину двох площин симетрії, а центр симетрії – це точка перетину трьох площин симетрії. Якщо центр ваги тіла одночасно знаходиться в двох (трьох) площинах симетрії, то, очевидно, він знаходиться на лінії (точці) перетину цих площин симетрії.

А тепер розглянемо деякі прості геометричні фігури.

Центр ваги площі паралелограма

З курсу математики середньої школи відомо, що точка перетину діагоналей паралелограма є центром його симетрії. Отже, центр ваги паралелограма (прямокутника, ромба) знаходиться в точці перетину його діагоналей.

Центр ваги площі трикутника

Д

Рис. 78

ля знаходження центра ваги площі трикутника ABD (рис. 78) розіб’ємо його площу на безліч смужок безконечно малої ширини паралельно до сторони AD. Центр ваги кожної такої смужки буде знаходитись в її центрі, тобто на прямій, що з’єднує вер-шину В трикутника з сере-диною протилежної сторо-ни, а це є медіана ВК трикутника. Звідси робимо висновок, що й центр ваги площі всього трикутника лежить на цій медіані.

Розбиваючи трикутник на елементарні смужки лініями, що паралельні стороні АВ (рис. 78), отримаємо, що центр ваги площі трикутника буде знаходитись на медіані DM.

Отже,

центр ваги площі трикутника знаходиться в точці перетину його медіан.

В аналітичній геометрії доводиться, що координати точки перетину медіан трикутника визначаються за формулами

(1.76)

Формули (1.76) визначають координати центра ваги трикутника. В цих формулах – координати вершин трикутника.

Центр ваги дуги кола

Розглянемо дугу ADВ кола радіуса R з центральним кутом . Помістимо початок системи координат в центрі кола, а вісь Ох проведемо як вісь симетрії дуги (рис. 79). Оскільки вісь Ох є віссю симетрії дуги, то центр ваги її буде знаходитись на цій осі, тобто , і залишається знайти тільки . Для цього скористаємося формулою

Рис. 79

в якій сумування замінимо інтегруванням, тобто

(а)

В даній формулі – довжина дуги, яка вираховується за формулою

(б)

Щоб вирахувати інтеграл, який стоїть в чисельнику, під кутом виділимо елемент дуги , центральний кут якої , тоді . Координата виділеного елемента дуги, згідно з рис. 79 визначиться за формулою

Тоді

(в)

Підставляючи (б) і (в) в (а), отримаємо

,

або

(1.77)

Отримана формула визначає центр ваги дуги радіуса . В даній формулі – половина центрального кута дуги в радіанах.

В частковому випадку для дуги півкола будемо мати

(1.78)

Центр ваги площі кругового сектора

Д

Рис. 80

ля визначення центра ваги сектора круга радіуса з центральним кутом розіб’ємо його на елементарні сектори, як показано на рис. 80. Кожний з цих елементарних секторів можна розглядати як трикутник, адже дугу, якою обмежений цей сектор, через її малість можна розглядати як прямолінійний відрізок. Центр ваги такого трикутника знаходиться в точці перетину його медіан, тобто на відстані від вершини. Отже, геометричним місцем центрів ваг всіх елементарних секторів є дуга кола радіуса . Знай-шовши центр ваги цієї дуги, тим самим знайдемо центр ваги площі кругового сектора. Застосовуючи формулу (1.77), отримаємо

(1.79)

Отримана формула визначає центр ваги площі сектора круга радіуса . В цій формулі – половина центрального кута в радіанах. В частковому випадку, для півкруга отримаємо

(1.80)

Формули для визначення положення центра ваги інших геометричних фігур можна знайти в різних технічних довідниках.