§ 46.8 Миттєвий центр пришвидшень

Миттєвим центром пришвидшень називається точка під час плоского руху тіла, пришвидшення якої в даний момент часу дорівнює нулеві.

Миттєвий центр пришвидшень найчастіше позначається буквою , отже .

П

Рис. 127

окажемо, що в кожний момент часу існує точка плоскої фігури, пришвидшення якої в цей момент часу дорівнює нулеві.

Для цього розглянемо плоску фігуру, котра рухається в площині рисунка (рис. 127). За полюс плоскої фігури візьмемо точку О. Нехай в деякий момент часу полюс має пришвидшення , а плоска фігура обертається навколо полюса з кутовим пришвидшенням , маючи в даний момент часу кутову швидкість , як вказано на рис. 127. З точки під кутом до вектора проведемо промінь ОЕ, причому кут вибираємо таким, що

. (а)

Кут відкладається від вектора в бік дугової стрілки кутового пришвидшення .

На цьому промені візьмемо точку В на відстані

(б)

і визначимо її пришвидшення. За формулою (2.71) маємо

. (в)

Величина вектора пришвидшення точки В в обертанні навколо полюса О визначається формулою (2.73) і в нашому випадку, враховуючи (б), отримаємо

. (г)

Цей вектор, як доведено вище, утворює з відрізком ОВ кут , який задовольняє умову (див. формулу 2.74)

,

тобто , а це означає (див. рис. 127), що вектори і напрямлені протилежно, і векторна сума (в) перетворюється в просту алгебраїчну різницю

,

Отже, пришвидшення точки В дорівнює нулеві, тобто точка В є миттєвим центром пришвидшень ( ) плоскої фігури.

З доведення випливає:

1. Миттєвий центр пришвидшень знаходиться на промені, який утворює з вектором пришвидшення полюса кут , тангенс якого визначається за формулою

. (2.75)

Цей кут необхідно відкладати від вектора в бік .

Напрям дугової стрілки визначається знаком алгебраїчного кутового пришвидшення .

2. Відстань до миттєвого центра пришвидшень визначається за формулою

, (2.76)

в якій – прискорення полюса.

Формули (2.75) і (2.76) є загальними формулами, за допомогою яких визначається положення миттєвого центра пришвидшень.

Розглянемо часткові випадки.

1. Плоска фігура навколо полюса обертається з постійною кутовою швидкістю, тобто . Тоді кутове пришвидшення плоскої фігури . Отже

,

а

Рис. 128

це означає, що миттєвий центр пришвидшень знаходиться на промені, по якому напрямлений вектор пришвидшення полюса плоскої фігури. Оскільки за полюс плоскої фігури можна брати будь-яку її точку, то, очевидно, миттєвий центр пришвидшень знаходиться в точці перетину променів, по яких напрямлені пришвидшення точок плоскої фігури (рис. 128).

2. Нехай кутова швидкість плоскої фігури , а її кутове пришвидшення , тобто плоска фігура здійснює миттєвий поступальний рух, тоді

.

В

Рис. 129

даному випадку миттєвий центр пришвидшень плоскої фігури буде знаходитись в точці перетину перпендикулярів до векторів пришвидшень точок фігури, які проведені з цих точок (рис. 129).

Якщо відомі вектори пришвидшень двох точок плоскої фігури, то миттєвий центр пришвидшень знаходиться графічно. Нехай відомі пришвидшення і точок А і В плоскої фігури (рис. 130).

Рис. 130

Згідно з формулою (2.71)

.

Будуємо в точці В паралелограм прискорень за заданою діагоналлю і однією стороною . За знайденим графічно при-швидшенням визначаємо напрям і кут , який цей вектор утворює з відрізком АВ. Маючи кут і напрям , відкладаємо цей кут від пришвидшень точок А і В по напряму . Отримані два промені продовжуємо до перетину в точці , яка буде миттєвим центром пришвидшень.

На рисунку 131 побудовані миттєві центри пришвидшень у випадку, коли і паралельні.

Рис. 131

1. Випадки а) і б) відповідають , тобто

; .

2. Випадки в) і г) відповідають , тобто ; .

3. Випадки д) і е) відповідають , тобто ; .

4. У випадку є) і миттєвий центр пришвидшень знаходиться в нескінченності, а пришвидшення всіх точок плоскої фігури геометрично рівні.

Якщо відомий миттєвий центр пришвидшень, то знаходження пришвидшень точок плоскої фігури суттєво спрощується. Дійсно, прийнявши миттєвий центр пришвидшень за полюс (рис. 132), отримаємо

.

Рис. 132

Оскільки , то . Аналогічно , . Із цих співвідношень згідно з (2.73) отримаємо

;

; (2.76 а)

.

Отже, якщо відомий миттєвий центр пришвидшень, то пришвидшення точки плоскої фігури в кожний момент часу обчислюється за формулою (2.76 а).

Пришвидшення точок плоскої фігури пропорційні відстані від точок до миттєвого центра пришвид-шень, а вектори пришвидшень утворюють з відрізками, які з’єднують ці точки з миттєвим центром пришвидшень один і той же кут .

Зауваження. Миттєвий центр швидкостей Р і миттєвий центр пришвидшень Q є різні точки плоскої фігури.