§ 6 Вихідні положення (аксіоми) статики

Статика, як і вся теоретична механіка, базується на певних істинах (вихідних положеннях, аксіомах), які є результатом численних спостережень і експериментів і на основі яких шляхом логічних міркувань із застосуванням відповідного математичного апарату будується весь теоретичний курс.

Аксіомами статики є:

1. Аксіома зрівноваження двох сил.

Дві сили, прикладені до твердого тіла, зрівноважуються тільки в тому випадку, коли вони рівні за модулем і напрямлені по одній прямій у протилежні боки (рис. 14).

Рис. 14

Дану аксіому легко перевірити експериментально і згідно з нею маємо, що умовами зрівноваження двох сил ( і ), котрі діють на тверде тіло, є:

а) спільність ліній їх дії;

б) виконання векторної рівності

. (1.1)

2. Аксіома приєднання і виключення зрівноваженої системи сил.

Стан твердого тіла не порушиться, якщо до системи сил, що діє на нього, приєднати або виключити систему зрівноважених сил.

Справедливість цього твердження випливає з визначення поняття “зрівноважена система сил” (див. § 4).

Наслідок.

Стан твердого тіла не порушиться при перенесенні точки прикладання сил вздовж лінії її дії в будь-яку точку тіла.

Наслідок не є аксіомою і його необхідно довести. Для доведення наслідку розглянемо тверде тіло, на яке в деякій точці діє сила (рис. 15,а).

Рис. 15

Візьмемо на лінії дії сили яку-небудь точку і прикладемо в цій точці дві сили і , які чисельно дорівнюють силі і задовольняють умові зрівноваження (рис. 15,б). Таке приєднання у відповідності до аксіоми 2 не порушує стану тіла, тобто система сил буде еквівалентна вихідній системі сил . Оскільки сили і взаємно зрівноважуються (аксіома 1), їх, не порушуючи стану тіла, можна відкинути і одержимо одну силу , яка прикладена в точці (рис. 15,в). Оскільки , то можна вважати, що сила є силою , яка перенесена вздовж лінії дії з точки в точку . Отже, наслідок доведений.

Доведене положення дає можливість, не порушуючи стану абсолютно твердого тіла, переносити сили, прикладені до нього, вздовж їх ліній дії в будь-які точки тіла.

Виходячи з класифікації векторів (вільний, невільний, ковзний), сила в статиці належить до ковзних векторів.

3. Аксіома дії і протидії (ііі-ій закон Ньютона).

Кожна механічна дія супроводжується рівною і про-тилежно напрямленою протидією.

Якщо дію позначити , а протидію , то третя аксіома виражається такою векторною рівністю:

. (1.2)

Оскільки дія і протидія прикладені до різних матеріальних об’єктів, то векторна рівність (1.2) не означає, що вони взаємно зрівноважені, адже аксіома і не вимагає, щоб сили були прикладені до одного і того ж тіла.

Треба відзначити також, що хоча третя аксіома говорить про механічну взаємодію, вона справедлива для більшості (а, можливо, і для всіх) взаємодій, які є в природі.

4. Аксіома накладання додаткових в’язей.

Рівновага матеріального об’єкта не порушиться при накладанні на нього додаткових в’язей.

Наприклад, рівновага парти (стола) не порушиться, якщо її ніжки прикріпити до підлоги болтами.

Частковим випадком даної аксіоми є твердження:

рівновага деформованого тіла не порушиться при його твердінні.

Це твердження часто називають принципом затвердіння.

З цього принципу випливає, що умови рівноваги для твердого тіла є необхідними (але не достатніми!) умовами рівноваги деформованого тіла.