§ 32 Центр ваги твердого тіла

На всі частинки тіла, що знаходяться поблизу поверхні Землі, діє сила ваги, яка є геометричною сумою сили всесвітнього тяжіння і відцентрової сили інерції, зумовленої обертанням Землі навколо своє осі. Оскільки відцентрова сила інерції мала порівняно із силою тяжіння, то практично вважають, що сила ваги напрямлена до центра Землі. Якщо тіло розбити на елементарні частини, сили ваг яких (рис. 75) і врахувати, що розміри тіла є незначними порівняно з розмірами Землі, то сили ваг їх елементарних частин тіла з достатньо великою точністю утворюють систему паралельних сил.

Рівнодійна сил ваг окремих частин тіла називається силою ваги тіла

. (а)

Враховуючи, що сили ваг елементарних частин тіла паралельні і напрямлені в один бік, векторну рівність (а) можна записати у вигляді

(1.68)

тобто

вага тіла дорівнює сумі ваг окремих його частин.

Центр паралельних сил ваг окремих частин тіла називається центром ваги тіла.

Рис. 75

На рис. 75 центр ваги тіла позначено буквою С. Координати точки С можна обчислити за формулами (1.67), які визначають координати центра паралельних сил, замінивши на

(1.69)

Записані вирази – це найбільш загальні формули, які визначають координати центра ваги тіла. В даних формулах: – вага окремої частини тіла; – координати цієї частинки.

Сумування в цих формулах проводиться по всіх частинках тіла. Для тіл, вага яких розподілена неперервно по об’єму, сумування замінюють інтегруванням, і формули (1.69) набувають вигляду

(1.70)

Розглянемо деякі часткові випадки.

1. Центр ваги однорідного тіла (центр ваги об’єму)

До однорідних тіл віднесемо тіла, питома вага яких по об’єму є сталою, тобто . Тоді Тут – об’єм частинки тіла. – об’єм всього тіла. Підставивши ці значення в формули (1.69), отримаємо формули, які визначають координати центра ваги однорідного тіла

(1.71)

Центр ваги однорідного тіла є центром ваги його об’єму.

2. Центр ваги площі однорідного плоского тіла (центр ваги площі)

Нехай однорідне плоске тіло буде розміщене в площині (рис. 76). Його вага і вага окремої його частини визначаються за формулами

(б)

де: – вага одиниці площі тіла; – площа тіла; – площа елементарної його частини. Підставивши (б) в формули (1.69), отримаємо формули, які визначають координати центра ваги однорідного плоского тіла

(1.72)

Рис. 76

Під центром ваги площі (плоскої фігури) розуміють центр ваги тонкої однорідної пластини, основа якої співпадає з даною площею. Координати центра ваги площі визначаються за формулами (1.72).

Зазначимо, що:

сума добутків площі кожного елемента плоскої фігури на його відстань до деякої осі, яка лежить у площині фігури, називається статичним моментом плоскої фігури відносно цієї осі.

Згідно з цим суми і є статичні моменти нашої плоскої фігури відносно осей і . Позначаючи ці статичні моменти буквами і , тобто

(1.73)

отримуємо для координат центра ваги плоскої фігури такі формули:

(1.74)

За цими формулами вираховують координати центра ваги плоскої фігури, якщо відомі її статичні моменти і