Міністерство освіти і науки України

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу

Кафедра польової нафтогазової геофізики

Ю.В.Філатов, ю.Ф.Ткаченко

ПРИКЛАДНА ТЕОРІЯ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ

ПІДРУЧНИК

для студентів за напрямком підготовки 0707 «Геологія» спеціальностей “Геофізика” і “Геологія нафти і газу”

Івано-Франківськ

2003 р.

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу

Кафедра польової нафтогазової геофізики

Ю.В.Філатов, Ю.Ф.Ткаченко

ПРИКЛАДНА ТЕОРІЯ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ

ПІДРУЧНИК

для студентів за напрямком підготовки 0707 «Геологія» спеціальностей “Геофізика” і “Геологія нафти і газу”

2003 р.

УДК 539.3:550.834

Підручник містить виклад засад теорії пружних хвиль та прикладних аспектів її використання при сейсмічній розвідці та акустичному каротажу, які займають провідне місце серед геофізичних методів пошуків та розвідки родовищ нафти і газу.

Спочатку розглядаються елементи класичної теорії пружності, зв’язок між малими напруженнями та деформаціями, вивід хвильового рівняння та його аналіз для ідеально пружного однорідного середовища.

Далі викладені особливості будови реальних геологічних середовищ і розвинений сучасний апарат сейсмоакустичного моделювання геологічного розрізу, включаючи хвильові рівняння, дисперсійні співвідношення та рівняння стану неідеально пружних середовищ.

Наведені основні практичні висновки теорії пружних хвиль для застосування в сейсморозвідці та акустичному каротажі.

Підручник розрахований на студентів вузів, які навчаються по спеціалізації “Геофізичні методи пошуків”, а також може бути використаний аспірантами та фахівцями в галузі сейсморозвідки та акустичного каротажу.

Сторінок 161, рисунків 12, джерел 11.

Дане видання є власністю ІФНТУНГ. Забороняється тиражувати та розповсюджувати без відома автора.

ISBN 966– 7327 –90 - 6

УДК 539.3:550.834

Підручник містить виклад засад теорії пружних хвиль та прикладних аспектів її використання при сейсмічній розвідці та акустичному каротажу, які займають провідне місце серед геофізичних методів пошуків та розвідки родовищ нафти і газу.

Спочатку розглядаються елементи класичної теорії пружності, зв’язок між малими напруженнями та деформаціями, вивід хвильового рівняння та його аналіз для ідеально пружного однорідного середовища.

Далі викладені особливості будови реальних геологічних середовищ і розвинений сучасний апарат сейсмоакустичного моделювання геологічного розрізу, включаючи хвильові рівняння, дисперсійні співвідношення та рівняння стану неідеально пружних середовищ.

Наведені основні практичні висновки теорії пружних хвиль для застосування в сейсморозвідці та акустичному каротажі.

Підручник розрахований на студентів вузів, які навчаються по спеціалізації “Геофізичні методи пошуків”, а також може бути використаний аспірантами та фахівцями в галузі сейсморозвідки та акустичного каротажу.

Сторінок 161, рисунків 12, джерел 11.

Рецензент: Завідувач кафедри ГДС, докт. геол..наук Федоришин Д.Д.

Автори: доцент Філатов Ю.В.,доцент Ткаченко Ю.Ф.

Відповідальний за випуск:

Зав.каф.ПНГГ____________________________Степанюк В.П.

Погоджено з навчально-методичним об’єднанням спеціальності 0707 ________________________Степанюк В.П.

Нормоконтролер____________________________О.Г.Гургула

Коректор_______________________________Н.Ф.Будуйкевич

Член екп-рев.комісії університету_______________Р.М. Рудий

Дане видання є власністю ІФНТУНГ. Забороняється тиражувати та розповсюджувати без відома автора.

ЗМІСТ	Стор.
ВСТУП...........................................................................	5
1 ПРУЖНІ ДЕФОРМАЦІЇ.............................................	7
1.1 Мала деформація та її компоненти..........................	7
1.2 Головні вісі деформації.............................................	13
1.3 Зв’язок між компонентами малої деформації та її головними коефіцієнтами..................................	17
1.4 Фізичний зміст компонент малої деформації..........	20
2 ПРУЖНІ НАПРУЖЕННЯ...........................................	27
2.1 Зовнішні сили.............................................................	27
2.2 Внутрішні напруження..............................................	28
2.3 Рівняння руху Коші...................................................	30
3 ЗВ’ЯЗОК МІЖ НАПРУЖЕННЯМИ ТА ДЕФОРМАЦІЯМИ........................................................	35
3.1 Експериментальний закон Гука...............................	35
3.2 Узагальнений закон Гука..........................................	36
4 ХВИЛЬОВІ РІВНЯННЯ ТА ПРУЖНІ ХВИЛІ........	43
4.1 Рівняння Ламе............................................................	43
4.2 Хвильові рівняння......................................................	45
4.3 Пружні потенціали.....................................................	49
4.4 Сферичні хвилі...........................................................	53
4.5 Плоска хвиля..............................................................	56
4.6 Сферична хвиля.........................................................	57
5 ХВИЛІ НА ГРАНИЦІ ПІВПРОСТОРІВ..................	60
5.1 Відбиття та заломлення хвиль на границі двох середовищ....................................................................	60
5.2 Практичні задачі на відбиття-заломлення плоских хвиль.............................................................	64
6 ХВИЛІ В РЕАЛЬНИХ СЕРЕДОВИЩАХ................	71
6.1 Хвильові рівняння з дисипативним членом............	71
6.2 Хвильові рівняння в перших похідних....................	75
7 КОМПЛЕКСНІ хвильовІ рівняння...................	83
8 ДИНАМІКА ПРУЖНИХ ХВИЛЬ В ПОГЛИНАЮ- ЧИХ ТА ДИСПЕРГУЮЧИХ СЕРЕДОВИЩАХ........	90
8.1 Миттєві параметри хвильового поля........................	90
8.2 Дисперсія швидкості пружних хвиль в геологічних середовищах..........................................	93
8.3 Миттєве поглинання пружної енергії	96
9 МІГРАЦІЯ ХВИЛЬОВИХ ПОЛІВ............................	98
9.1 Міграція хвильового поля на основі рівняння в перших похідних...................................................	99
9.2 Коректна міграція на співпряжених XZ профілях...................................................................	102
10 ПРАКТИЧНІ РОБОТИ З ТЕОРІЇ ПРУЖНИХ ХВИЛЬ.........................................................................	105
10.1 Дослідження напруженого стану та деформацій гірської породи при збудженні пружних хвиль........................................................	105
10.2 Аналіз рішення хвильового рівняння для конкретних умов....................................................	109
10.3 Розрахунок швидкості хвилі Релея при заданих параметрах півпростору.........................................	113
10.4 Розрахунок траєкторій руху частинок в хвилі Релея при заданих параметрах середовища......	116
10.5 Розрахунок дисперсійної кривої для швидкості хвилі Лява.................................................................	119
10.6 Обчислення та побудова частотної характеристики сферичного випромінювача........	123
10.7 Обчислення та побудова частотної характеристики тонкого шару.............................	126
Визначення коефіцієнтів поглинання пружних хвиль.........................................................	130
Визначення дійсних швидкостей розповсюдження пружних хвиль..........................	133
11 ЗАДАЧІ ТА КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ....................	137
11.1 Задачі на поширення пружних хвиль.................	137
11.2 Рейтингові контрольні роботи .............................	144
11.3 Контрольні завдання...............................................	148
11.4 МЕТОДИЧНІ ПОРАДИ ПО САМОСТІЙНІЙ РОБОТІ .....................................................................	151
12.1 Пружні деформації...................................................	152
12.2 Пружні напруження.................................................	153
12.3 Зв’язок між напруженнями і деформаціями..........	155
12.4 Хвильові рівняння та пружні хвилі........................	156
12.5 Хвилі на границі півпросторів................................	158
12.6 Хвилі у вільному і обмеженому шаром півпросторі................................................................	160
12.7 Хвилі від джерел різного типу................................	161
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ТА ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ	163

ВСТУП

Теорія пружних хвиль є підґрунтям найбільш точного та розповсюдженого методу розвідки корисних копалин - сейсморозвідки. При промислово-геофізичних дослідженнях в свердловинах широко застосовується метод акустичного каротажу, який також базується на теорії пружних хвиль. Вона дозволяє за допомогою рівнянь та формул кількісно описувати процеси утворення та розповсюдження сейсмічних та акустичних хвиль. Теорія пружних хвиль базується, в основному, на положеннях класичної теорії пружності. Тому стислий виклад елементів теорії пружності є необхідною передумовою для розгляду питань безпосередньо сейсморозвідки та акустичного каротажу.

Історія розвитку теорії пружних хвиль розпочинається з моменту, коли англійський вчений Р.Гук експериментально довів існування прямої пропорційної залежності між деформаціями та напруженнями, що їх викликали. В наступному російські академіки Бернуллі та Ейлер поклали початок математичній теорії пружних коливань стержня. Французькі вчені Пуассон та Коші вивели рівняння руху пружного середовища та довели існування двох типів хвиль - поздовжніх та поперечних. Великий внесок в розвиток теорії пружних хвиль зробили російські вчені: М.Остроградський, Б.Галеркін, Л.Лейбензон, Є.Саваренський, Г.Петрашень.

У класичній теорії пружних хвиль весь розгляд ведеться в рамках ідеальної пружності з прийнятими при цьому припущеннями про властивості середовища (абсолютна пружність, аморфність, гомогенність) та про малу величину його деформацій. Абсолютна або ідеальна пружність, яка приписується середовищу означає здатність повністю відновлювати початковий стан після усунення причини, яка викликала малу деформацію, тобто зміну відносного розташування близьких частинок середовища. Тільки для малих деформацій виконується закон Гука про лінійну залежність між ними та напруженнями, які їх викликали.

По відношенню до реальних геологічних середовищ все це є звичайною науковою абстракцією, але співставлення практичного досвіду застосування сейсморозвідки та акустичного каротажу з висновками класичної теорії пружності в межах локальних ділянок розповсюдження пружних хвиль досить точно відповідає теоретичним положенням.

Останнім часом сейсмоакустичні методи дослідження геологічного розрізу стали вирішувати складні задачі, такі як вивчення літології, петрофізичних властивостей та флюїдонасичення гірських порід, і деякі з положень класичної теорії, які були запозичені з механіки суцільних середовищ, стали невідповідними до даних натурних експериментів.

Великий внесок в розвиток теорії розповсюдження пружних хвиль в реальних геологічних середовищах зробили М.Біот, Я.Френкель, І.Берзон, О.Кондратьєв, М.Гринь. Поглинання енергії пружних хвиль та залежність швидкості розповсюдження від довжини хвилі спонукали до розвитку теорії диспергуючих хвиль, з якою пов’язані роботи Дж.Уізема, Р.Стола та інших дослідників.