1.2 Головні вісі деформації

Доведемо, що в пружному тілі в кожній точці можна виділити три взаємо перпендикулярні прямі, яким властиво наступне. Частинки пружного тіла, які знаходяться до деформації на цих прямих, залишаються на них і після деформації, тобто переміщуються виключно вздовж цих прямих. Ці прямі називаються головними вісями деформації.

Припустимо, що точка А, яка визначається до деформації вектором з складовимиx, y, z,знаходиться на одній з головних вісей деформації та її переміщенняспівпадає з направленням вектора. Цю умову можна записати таким чином:

,

або в координатній формі

, (1.13)

де  - неозначений множник.

Складові векторавизначаються системою (1.9). З врахуванням (1.13) ця система набуде вигляду:

(1.14)

Система (1.14) являє собою систему однорідних лінійних рівнянь відносно невідомих x, y, z.Останні є складовими вектора, в напрямку якого відбувається переміщення. Таким чином, визначення напрямку однієї з головних вісей деформації зводиться до рішення системи (1.14) відносноx, y, z.

Система (1.14) має ненульові рішення при умові

Ця умова приводить до рівняння третьої ступені відносно .Корені цього рівняння дійсні, позначимо їх черезПослідовна підстановка значеньв (1.14) дає складовіx₁, y₁, z₁,x₂, y₂, z₂ ix₃, y₃, z₃трьох векторів,iякі визначають напрямки головних вісей деформації в даній точці.

Покажемо, що головні вісі деформації взаємно перпендикулярні.

Підставимо в (1.14)

, (1.15)

де x₁, y₁, z₁ - рішення системи (1.14) при. Так само можна записати

(1.16)

Помножимо перше з рівнянь (1.15) на x_2,друге наy₂, третє наz₂та просумуємо їх

(1.17)

Помножимо перше з рівнянь (1.16) на x_1,друге наy₁, третє наz₁та знайдемо їх суму

(1.18)

Праві частини рівнянь (1.17) та (1.18) рівні, тому, віднімаючи з першого друге, отримаємо

(1.19)

Оскільки , то з (1.19) виплаває

,

або в векторній формі

.

Рівність нулю скалярного добутку векторів тасвідчитьть про те, що ці вектори взаємно перпендикулярні. Таким чином, головні вісі деформації, напрямок яких визначаються векторами₁та₂, взаємно перпендикулярні.

Аналогічно можна довести перпендикулярність решти головних вісей деформації.

Позначимо знайдені напрямки трьох взаємно перпендикулярних вісей деформації через 1, 2, 3 та приймемо вісі деформації за вісі координат. У системі координат 1, 2, 3 вираз (1.9) набуває вигляду:

(1.20)

де

Індекси 1, 2, 3 означають, що складові вектора взяті відносно вісей 1, 2, 3 та продиференційовані по тих же вісях. Індекс ₁₂₃означає, що складові векторівтатакож взяті відносно вісей 1, 2, 3. Формули (1.20) показують, що вісі 1, 2, 3 - головні вісі деформації. Дійсно, з (1.20) слідує, що точка, яка знаходилась до деформації на одній з цих вісей, наприклад, 1, тобто мала координатиx₁₂₃ , y₁₂₃=z₁₂₃= 0, і після деформації лишається на тій же вісі, оскільки згідно (1.20)

Таким чином, при переході до головних вісей координат 1, 2, 3 компоненти перетворюються в нулі, а компонентиотримують деякі нові значення.Величини називаються головними коефіцієнтами деформації.