4 Хвильові рівняння та пружні хвилі

4.1 Рівняння Ламе

Випишемо диференціальне рівняння руху пружнього середовища (2.10), (2.11) і (2.12):

(4.1)

Перетворимо ці рівняння, виразивши в них напруження через переміщення. Для цього скористаємося узагальненим законом Гука в переміщеннях (3.20). Вибираючи в (3.20) напруження, що входять в перше з рівнянь (4.1), і диференціюючи їх, отримаємо

(4.2)

Вносячи (4.2) в перше рівняння (4.1), отримаємо

Враховуючи

будемо мати

Аналогічно можна перетворити і два інших рівняння (4.1). В результаті перетворень система рівнянь (4.1) набуде вигляду

(4.3)

Ці рівняння теорії пружності в переміщеннях вперше отримав Ламе. Рівняння (4.3) узагальнюють висновки, що були зроблені раніше. Якщо сили інерції дорівнюють нулю, то отримаємо рівняння рівноваги елементарного об’єму (рівняння Коші); якщо сили інерції не дорівнюють нулю, то маємо рівняння руху елементарного об’єму при деформаціях. Одночасно ці рівняння показують зв’язок між напруженнями та деформаціями для ізотропних тіл через коефіцієнти Ламе.

Три рівняння(4.3) можна перетворити в одно векторне:

(4.4)

оскільки

.

У математичному відношенні зміст теорії розповсюдження сейсмічних хвиль пов’язано з рішенням рівняння (4.3) при виконанні початкових та граничних умов. Початкові умови – це умови на початку руху. На початку руху при t=0, необхідно задати значення переміщень U_x, U_y, U_z та їх похідні по часу t . Зазвичай припускається, що початкові умови, які відносяться до моменту включення дії, рахуються нульовими. Граничні умови – це умови на граничних поверхнях: на вільній границі (денній поверхні), на границі розділу двох пружних середовищ. На вільній границі може бути задано значення зовнішньої сили, прикладеної до деякого елемента цієї границі. Умови на границі розділу середовищ рахуються такими , що при переході через цю границю залишаються неперервними значення векторів зміщення і напружень. Такий контакт двох середовищ називається жорстким.

4.2 Хвильові рівняння

Переміщення пружного тіла можна розкласти на два переміщенняі. З першим пов’язана об’ємна деформація , з другим – оберти . Доведемо це. Нехай

(4.5)

Вектор обумовлює об’ємну деформацію і не дає обертів. тобто

(4.6)

Вектор дає оберт, але об’ємна деформація відсутня

(4.7)

Перетворимо тепер рівняння (4.4), користуючись відомою формулою з векторної алгебри

, (4.8)

з врахуванням (4.8) рівняння (4.4) приймає вигляд

.(4.9)

Виконаємо операцію дивергенції над рівністю (4.9), беручи до уваги (4.5) та враховуючи, що зовнішні сили дорівнюють нулю. Цей випадок відповідає вільним коливанням пружного середовища, які виникають після припинення дії цих сил.

З векторної алгебри відомо, що

і попереднє рівняння буде

або враховуючи (4.5)

Згідно (4.6) і (4.7)

,

і ми отримаємо рівняння

(4.10)

де

Рівняння (4.10) є хвильовим рівнянням для дилатації .

Виконаємо тепер операцію ротора над рівністю (4.9)

Беручи до уваги, що

,

з попереднього рівняння отримаємо

Алезгідно (4.6) і (4.7)

Тепер будемо мати

(4.11)

Перетворимо це рівняння, використовуючи формулу (4.8). Запишемо її у такому вигляді:

(4.12)

Так згідно (4.7)

тоді

(4.13)

Таким чином, з врахуванням (4.12) і (4.13) з (4.11) отримаємо

або

(4.14)

де

.

Це хвильове рівняння для обертів .