- •Ю.В.Філатов, ю.Ф.Ткаченко
- •1 Пружні деформації
- •1.1 Мала деформація та її компоненти
- •1.2 Головні вісі деформації
- •1.3 Зв’язок між компонентами малої деформації та її
- •1.4 Фізичний зміст компонент малої деформації
- •2 Пружні напруження
- •2.1 Зовнішні сили
- •2.2 Внутрішні напруження
- •2.3 Рівняння руху Коші
- •3 Зв’язок між напруженнями і
- •3.1 Експериментальний закон Гука
- •3.2 Узагальнений закон Гука
- •4 Хвильові рівняння та пружні хвилі
- •4.1 Рівняння Ламе
- •4.2 Хвильові рівняння
- •4.3 Пружні потенціали
- •4.4 Cферичнi хвилі
- •4.5 Плоска хвиля
- •4.6 Сферична хвиля
- •Підставляючи в хвильове рівняння,
- •5 Хвилі на границях півпросторів
- •5.1 Відбиття та заломлення плоских хвиль на
- •5.2. Практичні задачі на відбиття – заломлення
- •6 Хвилі в реальних середовищах
- •6.1 Хвильові рівняння з дисипативним членом
- •Його дисперсійне співвідношення
- •Перевіримо виконання умови 3. З (6.10) випливає, що
- •6.2 Хвильові рівняння в перших похідних
- •Проаналізуємо четверту модель. Її хвильовому рівнянню
- •7 Комплексні хвильові рівняння
- •8 Динаміка пружних хвиль в
- •Та диспергуючих середовищах
- •8.1 Миттєві параметри хвильового поля
- •8.2 Дисперсія швидкості пружних хвиль в
- •8.3 Миттєве поглинання пружної енергії
- •9 Міграція хвильових полів
- •9.1 Міграція хвильового поля на основі рівняння в
- •Введемо позначки
- •10 Практичні роботи з теорії пружних
- •10.1 Дослідження напруженого стану та деформацій
- •Література
- •10.2 Аналіз рішення хвильового рівняння для
- •Література
- •10.3 Розрахунок швидкості хвилі Релея при
- •Література
- •10.4 Розрахунок траєкторій руху частинок у хвилі
- •Література
- •10.5 Розрахунок дисперсійної кривої для
- •Література
- •10.6 Обчислення та побудова частотної
- •Мета та завдання роботи
- •Основні теоретичні положення
- •Порядок проведення роботи
- •Коефiцiєнт вiдбиття має максимум, амплiтуда якого
- •Мінімальне значення коефіцієнта вiдбиття вiд тонкого шару
- •Порядок проведення роботи
- •Лiтература
- •10.8 Визначення коефіцієнтів поглинання пружних хвиль
- •Література
- •10.9 Визначення дійсних швидкостей
- •Література
- •Контрольні завдання
- •12 Методичні поради до самостійної роботи
- •Програмні запитання
- •12.1 Пружні деформації
- •Питання для самоперевiрки
- •12.2. Пружні напруження
- •Лiтература
- •Методичні вказівки
- •Питання для самоперевірки
- •12.3 Зв`язок між напруженнями I деформаціями
- •12.4. Хвильові рівняння та пружні хвилі
- •Питання для самоперевірки
- •12.5 Хвилі на границі півпросторів
- •12.6 Хвилі у вільному і обмеженому шаром
- •12.7 Хвилі від джерел різного типу
- •Список рекомендованої та використаної літератури
6.2 Хвильові рівняння в перших похідних
Уроботі О.К.Кондратьєва* введено поняття оптимального хвильового рівняння (ОХР). Це рівняння, яке описує лінійно-непружне середовище, не містить похідних по часу вище другого порядку, і добре узгоджується у сейсмічному діапазоні частот з експериментальними залежностями фазової швидкостіта коефіцієнта поглинання пружних хвильвід частоти.
*Кондратьев О.К. Отраженные волны в поглощающих
средах. М.: “Недра”, 1983г. - 231 с.
ОХР по числу параметрів (три) реологічної моделі середовища узгоджено з числом параметрів спостереженого хвильового поля, які надійно можна визначити експериментально.
Разом з цим, при виводі ОХР О.К.Кондратьєвим накладається не зовсім обґрунтоване, на наш погляд, обмеження на число коренів для комплексного числа К. Виходячи з поширення двох однакових хвиль з рівною швидкістю, але в різних напрямках при збудженні коливань у внутрішній точці середовища, він приходить до висновку, що ОХР повинно містити гуківське хвильове співвідношення (6.2)
Інакше кажучи, члени ОХР з парними похідними визначають наявність хвильового процесу, а з непарними похідними поля зміщення - дисипацію пружної енергії.
В сейсморозвідці найбільш поширено збудження хвиль на границі пружного півпростору - земної поверхні або у безпосередній близькості до неї. У всякому випадку, сейсморозвідників цікавить хвиля, яка поширюється вниз, тобто хвиля, яка зондує геологічне середовище. Тому нас влаштовують і такі хвильові рівняння, які дають один корінь для хвильового числа К, тобто описують лише одну хвилю, яка поширюється вниз ( в одну сторону від джерела). На можливість використання для аналізу хвильових процесів диференційних рівнянь першого порядку, які дають одне значенняК, вказано у роботах Дж. Уізема, який за основу
приймає не хвильове рівняння (6.2), а більш просте
. (6.22)
Тепер, коли хвильовий процес описується першими похідними зміщення, для того, щоб Кбуло комплексним, тобто, щоб, у рівняння (6.22) необхідно добавити дисипативний член у вигляді парної похідної. Таким чином, будемо розглядати хвильове рівняння виду
. (6.23)
Для того, щоб включити в клас (6.23) хвильове рівняння з дисипативним членом, пропорційним зміщенню часток середовища, припустимо .
Основні властивості рівняння (6.23) приведені в таблицях 6.1 та 6.2.
З таблиць видно, що експериментальним даним про фазові швидкості найбільш відповідають моделі 1 та 4, для моделі 2 характерна пропорційність швидкості , для третьої - пропорційність.
Зупинимось більш детально на аналізі 1 та 4 моделей.
Перейдемо від рівняння
(6.24)
до рівняння стану середовища, враховуючи, що , де- градієнт напруження,- щільність середовища, а деформація
(6.25)
Щоб перейти від рівняння стану до рівняння, яке зв’язує напруження та деформацію у явному вигляді, проінтегруємо (6.25) по Xі продиференціюємо поt. Беручи до уваги, що
при с =const , а профіль хвилі розгорнутий на 180у порівнянні з її графіком, отримаємо
(6.26)
або
, (6.26’)
де - модуль пружності,.
При з (6.26) отримаємо
,
тобто залишкова деформація пропорційна коефіцієнту поглинання, швидкості поширення пружної хвилі та інтегралу попередніх деформацій.
Недоліком першої моделі є постійність коефіцієнта поглинання по всьому діапазоні частот при постійному коефіцієнтіb, що не узгоджується з експериментальними даними.