Міністерство освіти і науки України

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу

В. Векерик, М. Лисканич, П. Огородніков,

О . Петрук , І. Цідило

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Частина перша

СТАТИКА. КІНЕМАТИКА

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів № 14/18.2–1487 від 12.07.02

Івано-Франківськ, 2002

ББК 22.21

С–63

УДК 531.8

В.Векерик, М.Лисканич, П.Огородніков, О.Петрук , І.Цідило.

Теоретична механіка. Частина перша. Статика. Кінематика: Навч. посіб. – Івано-Франківськ: Факел, 2002. – 273 с.

В навчальному посібнику викладено основні положення статики твердого тіла і кінематики – перших двох складових части­н теоретичної механіки. Посібник написано у відповідності з програмою з теоретичної механіки для вищих технічних навчальних закладів України і є результатом багаторічної викладацької діяльності його авторів в Івано-Франків-ському національному технічному університеті нафти і газу.

При викладенні теоретичного матеріалу механіки можна користуватись чотирма методами: геометричним, аналітичним, векторним і матричним, що грунтується на символіці матричного числення. Враховуючи, що вивчення теоретичної механіки у більшості вузах України розпочинається у другому семестрі після засвоєння студентами основних положень векторної алгебри і прагнучи викласти теоретичний матеріал у відносно стислій формі, автори надали перевагу векторному методу.

За структурою і змістом посібник може бути корисним студентам всіх форм навчання як за повною, так і за скороченою, програмами з теоретичної механіки.

При підготовці рукопису до видання враховані цінні зауваження та ко-рисні поради професора Кузьо І.В., доцентів Смереки І.П., Гофмана М.Н., Карпенка Т.М., яким автори виражають глибоку подяку.

Рецензенти:

доктор технічних наук, професор І.В.Кузьо (Національний університет “Львівська політехніка”),

кандидат фізико-математичних наук, доцент І.П.Смерека (Національний університет “Львівська політехніка”), кандидат фізико-математичних наук, доцент М.Н.Гофман (Приазовський державний технічний університет), кандидат фізико-математичних наук, доцент Т.М.Карпенко (Приазовський державний технічний університет)

Зауваження і побажання прохання направляти за адресою:

76019, Івано-Франківськ, вул. Карпатська, 15 Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу

© Факел, 2002

З М І С Т

ВСТУП 6

§ 1 Предмет теоретичної механіки 6

§ 2 Основні поняття теоретичної механіки 8

1 СТАТИКА ТВЕРДОГО ТІЛА 10

§ 3 Предмет статики твердого тіла 10

§ 4 Основні поняття статики 10

§ 5 В’язі та їх реакції 12

§ 6 Вихідні положення (аксіоми) статики 16

1.1 Система збіжних сил 22

§ 7 Зведення системи збіжних сил до канонічного вигляду 22

§ 8 Умови і рівняння рівноваги системи збіжних сил 25

§ 9 Алгоритм розв’язання задач на рівновагу 26

Питання для самоконтролю 27

1.2 Теорія моменту сил 28

§ 10 Момент сили відносно точки 28

§ 11 Момент сили відносно осі 31

§ 12 Залежність між моментом сили відносно точки і моментом сили відносно осі, яка проходить через цю точку 33

§ 13 Аналітичне визначення моменту сили відносно довільної точки 35

§ 14 Теорема Варіньйона 38

Питання для самоконтролю 40

1.3 Довільна система сил 41

§ 15 Головний вектор і головний момент системи сил 41

§ 16 Пара сил і її момент 44

§ 17 Еквівалентність пар сил 48

§ 18 Додавання пар сил 49

§ 19 Лема про паралельний перенос сили 53

§ 20 Зведення довільної системи сил до заданого центра 55

§ 21 Окремі випадки зведення довільної системи сил 57

§ 22 Інваріанти довільної системи сил 63

§ 23 Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил 66

§ 24 Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил 68

§ 25 Статично означені і статично неозначені задачі 74

§ 26 Рівновага системи тіл 76

Питання для самоконтролю 80

1.4 Деякі спеціальні питання статики 82

§ 27 Тертя ковзання 82

§ 28 Конус тертя. Область рівноваги 85

§ 29 Тертя кочення 88

§ 30 Поняття про ферми 92

Питання для самоконтролю 96

1.5 Система паралельних сил. Центр ваги твердого тіла 97

§ 31 Зведення системи паралельних сил до канонічного вигляду 97

§ 32 Центр ваги твердого тіла 101

§ 33 Центри ваги деяких простих геометричних фігур 105

§ 34 Способи визначення положення центра ваги тіла 110

Питання для самоконтролю 114

2 КІНЕМАТИКА 115

§ 35 Предмет кінематики 115

2.1 Кінематика точки 117

§ 36 Векторний спосіб вивчення руху точки 117

§ 37 Координатний спосіб вивчення руху точки 120

§ 38 Швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах 124

§ 39 Натуральна система координат 126

§ 40 Натуральний спосіб вивчення руху точки 127

§ 41 Класифікація руху точки за її пришвидшеннями 133

Питання для самоконтролю 136

2.2 Кінематика твердого тіла 137

§ 42 Поступальний рух твердого тіла 138

§ 43 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі 140

§ 43.1 Рівняння обертання тіла навколо нерухомої осі 141

§ 43.2 Рівняння рівномірного і рівнозмінного обертання 144

§ 43.3 Швидкість і пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі 145

§ 43.4 Вектор кутової швидкості 150

§ 43.5 Векторні вирази швидкості, доцентрового і обертального пришвидшень точки тіла при обертальному русі 151

Питання для самоконтролю 154

2.3 Кінематика складного руху точки 155

§ 44 Складний рух точки 155

§ 44.1 Основні поняття і визначення 156

§ 44.2 Теорема про складання швидкостей 159

§ 44.3 Теорема про складання пришвидшень (Теорема Коріоліса) 161

§ 44.4 Коріолісове пришвидшення і його визначення 163

Питання для самоконтролю 166

2.4 Кінематика складного руху твердого тіла 168

§ 45 Складний рух твердого тіла 168

§ 46 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла 168

§ 46.1 Основні поняття і визначення 168

§ 46.2 Рівняння руху плоскої фігури 171

§ 46.3 Рівняння руху точки плоскої фігури 174

§ 46.4 Теорема про швидкості точок плоскої фігури та її наслідок 176

§ 46.5 Миттєвий центр швидкостей 179

§ 46.6 Способи визначення положення миттєвого центра швидкостей 182

§ 46.7 Теорема про пришвидшення точок плоскої фігури 184

§ 46.8 Миттєвий центр пришвидшень 187

Питання для самоконтролю 193

§ 47 Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки 195

§ 47.1 Кути Ейлера. Рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої точки 195

§ 47.2 Теорема Ейлера–Даламбера 197

§ 47.3 Кутова швидкість і пришвидшення тіла, що обертається навколо нерухомої точки 201

§ 47.4 Швидкості точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки 205

§ 47.5 Пришвидшення точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки 208

Питання для самоконтролю 212

§ 48 Рух вільного твердого тіла 213

§ 49 Синтез рухів 217

§ 49.1 Складання поступальних рухів твердого тіла 217

§ 49.2 Складання поступального і обертального рухів твердого тіла 220

§ 49.3 Складання обертань навколо осей, що перетинаються 226

§ 49.4 Складання обертань навколо паралельних осей 229

Питання для самоконтролю 240

§ 50 Аналогії між кінематикою і статикою 242

Додатки 248

Список використаної літератури, деяких підручників і навчальних посібників з теоретичної механіки 269

Предметний покажчик 271

В С Т У П

§ 1 Предмет теоретичної механіки

Теоретична механіка – це одна з дисциплін науки “Механіка”. Саме слово “механіка” грецького походження і в прямому перекладі означає “хитрість”. Цей термін вперше був застосований у ІІІ ст. до н.е. одним з учнів Арістотеля при вив-ченні таких явищ, в яких “менше зусилля перемагає більше”, наприклад, при підніманні вантажу за допомогою важеля.

Механіка – це наука про найпростішу форму руху матерії – механічний рух.

Механічним рухом називається переміщення одного матеріального об’єкта (або його частини) відносно іншого (іншої його частини) в просторі й часі.

Так, наприклад, під час руху автомобіля по дорозі одне тіло (автомобіль) переміщується відносно інших тіл (дерев, будинків), які знаходяться при дорозі. При розтягуванні або стискуванні пружини одна її частина переміщується відносно іншої. Такий рух називається деформацією, вивченням якої займаються такі дисципліни механіки, як опір матеріалів і теорія пружності.

Теоретична механіка вивчає найбільш загальні закони механічного руху, який визначається переміщенням одного матеріального об’єкта відносно іншого.

Теоретична механіка, вивчаючи одну із форм руху матерії, належить до природничих наук. Серед них вона посідає одне з провідних місць, бо вивчає найпростішу форму руху матерії. До того ж, теоретична механіка є науковим фундаментом для багатьох технічних дисциплін, більшість яких “за-родилась” в надрах механіки, а їх теорія базується на положеннях і законах, сформульованих теоретичною механікою.

Основним завданням теоретичної механіки є пізнання кількісних і якісних закономірностей механічного руху та відображення їх на математичній мові у вигляді рівнянь – законів механічного руху.

Закони, сформульовані теоретичною механікою, є об’єк-тивними. Їх об’єктивність полягає в тому, що вони відображають закони природи, які суб’єкт (людина) може вивчити, але не змінити. Формулювання самих законів має суб’єктивний характер. І дійсно, один і той же закон, не змінюючи його суті, різними авторами формулюється по-різному. Так, наприклад, в підручниках Ви можете зустріти такі формулювання другого закону Ньютона:

“Пришвидшення, з яким рухається матеріальна точка, пропорційне діючій силі і обернено пропорційне її масі”.

“При русі точки має місце векторна рівність ”.

Зміна кількості руху матеріальної точки пропорційна прикладеній силі і відбувається за напрямом дії сили” і т.д.

З наведених формулювань тільки третє більш-менш відповідає формулюванню І.Ньютона (1642-1726) в його трактаті “Математичні начала натуральної філософії” (1687 р.).

Необхідно також відзначити, що закони механіки, як і сам механічний рух, є відносними. Вони справедливі для певної системи відліку. І, формулюючи закон або використовуючи його для розв’язання конкретної задачі, необхідно пам’ятати про систему відліку, в якій він має місце. Самі закони Ньютона, на яких базується теоретична механіка, справедливі в інерційній системі відліку.

Як було сказано вище (див. визначення), механічний рух відбувається в просторі й часі. В теоретичній (класичній) механіці простір і час вважаються абсолютними. Абсолютність їх полягає в тому, що існування їх постулюється, вони є незалежними один від одного, геометрія їх не залежить від матеріальних об’єктів, що їх населяють, і від швидкостей, з якими останні рухаються. Це суперечить теорії відносності, яка виникла на початку ХХ ст. Але, як показала ця теорія, помітні кількісні відхилення від законів руху, котрі встановлені в класичній механіці, проявляються тільки при швидкостях, близьких до швидкості світла ( 310⁸ м/с). Мірою цього відхилення є різниця між одиницею і величиною , де – швидкість руху тіла. В більшості випадків сучасної техніки це відношення дуже мале. Наприклад, якщо взяти таку достатньо велику швидкість, як швидкість руху супутника навколо Землі ( 810³ м/с), воно становить 710^–10 і є дуже малим. Отже, в області малих швидкостей, якими оперує техніка, цим відношенням можна знехтувати, тобто вважати простір і час абсолютними.

В силу історичних традицій і за характером розв’язуваних задач курс теоретичної механіки поділяють на три частини: статика твердого тіла, кінематика і динаміка.