§ 46.2 Рівняння руху плоскої фігури

Розглянемо плоску фігуру, що переміщається в площині нерухомої системи координат (рис. 113). Положення плоскої фігури в цій площині однозначно визначається положенням двох її точок, наприклад, О і А. Оскільки відстань між точками О і А залишається незмінною, то з чотирьох координат ( ), що визначають положення цих точок, незалежними є тільки три. Отже, для визначення положення плоскої фігури потрібні тільки три незалежних параметри. Такими параметрами можуть бути: – координати точки О; – кут повороту відрізка, що з’єднує точки О і А відносно осі абсцис. При русі плоскої фігури ці параметри змінюються і є функціями часу , тобто

(2.63)

Рівняння (2.63), за допомогою яких можна визначити положення плоскої фігури в будь-який момент часу, є рівняннями її руху. А оскільки рух плоскої фігури визначає плоскопаралельний рух твердого тіла, то рівняння (2.63) є рівняннями плоскопаралельного руху твердого тіла.

Рис. 113

Розглянемо часткові випадки:

1. Припустимо, що плоска фігура здійснює рух, при якому

В даному випадку при русі плоскої фігури відрізок ОА буде паралельним своєму початковому положенню, а це означає, що плоска фігура здійснює поступальний рух.

2. У випадку, коли

плоска фігура, очевидно, буде здійснювати обертальний рух.

При русі плоскої фігури одночасно змінюються три параметри (див. рівняння 2.63). Таким чином, можна стверджувати, що:

плоскопаралельний рух твердого тіла є складним рухом; він складається з поступального і оберталь-ного рухів.

Точка, з якою плоска фігура здійснює поступальний рух, називається полюсом.

В даному випадку за полюс взято точку О. За полюс плоскої фігури можна брати будь-яку її точку. Дослідимо залежність складових рухів плоскої фігури від вибору полюса. Для цього розглянемо два положення плоскої фігури, що рухається в площині (рис. 114): – положення плоскої фігури в момент часу ; – її положення в момент часу , тобто за проміжок часу плоска фігура перемістилась з положення в положення . На рис.114 також вказано:

– положення плоскої фігури після поступального її переміщення з положення І в положення ІІ у випадку, коли за плюс вибрано точку ;

– положення плоскої фігури після поступального її переміщення з положення І в положення ІІ у випадку, коли за плюс вибрано точку ;

– кути повороту плоскої фігури навколо відповідних полюсів.

Отже, якщо за полюс плоскої фігури вибрано точку , то при переміщенні її з положення І в положення ІІ за проміжок часу вона здійснить поступальний рух по траєкторії і повернеться на кут . Коли за полюс плоскої фігури буде вибрано точку , то при переміщенні її з положення І в положення ІІ за цей же проміжок часу поступальний рух вона здійснить по траєкторії і повернеться на кут . З рис. 114 видно, що траєкторії руху і переміщення точок А і В різні, а кути повороту і однакові за величиною і знаком, отже, можна стверджувати, що

Рис. 114

поступальний рух плоскої фігури залежить від вибору полюса, а обертальний її рух не залежить від вибору полюса.

Зауваження:

1. Додатний напрям кута вибирається проти ходу годинникової стрілки.

2. Модулі кутової швидкості і пришвидшення дорівнюють

; .

3. Вектори і направляються перпендикулярно до площини руху згідно з правилом, запропонованим при обертальному русі тіла (§ 43.4). Вектори і є вільними векторами і можуть бути прикладені в будь-якій точці плоскої фігури.