2.1 Кінематика точки

Рух точки як об’єкта, розмірами якого нехтують, можна розглядати як простий або складний. Простий рух і відносний у випадку складного руху точки можна задати і вивчити трьома способами: векторним, координатним і натуральним.

§ 36 Векторний спосіб вивчення руху точки

В даному способі положення рухомої точки визначається вектором , початок якого знаходиться в деякому нерухомому центрі . Цей вектор позначається буквою і називається радіусом-вектором рухомої точки . При русі точки радіус-вектор неперервно змінюється як за напрямом, так і за величною. Наприклад, в момент рухома точка займає положення , а її радіус-вектор приймає значення . Отже, є функцією часу . Математично це можна описати так:

(2.1)

Рівняння (2.1) є рівнянням (законом) руху точки у векторній формі. Для визначення траєкторії точки згадаємо одне визначення з математики:

лінія, яка описується в просторі кінцем змінного вектора, початок якого знаходиться в нерухомій точці, називається годографом даного вектора.

Отже, у відповідності з рис. 84 траєкторією руху точки при векторному способі задання її руху є годограф її радіуса-вектора .

Для визначення швидкості точки розглянемо два її послідовні положення. Припустимо, що в момент часу рухома точка перебуває в положенні , яке визначається радіусом-вектором , а в момент – в положенні , яке визначається радіусом-вектором (рис. 85).

Отже, за проміжок часу точка змістилася на вектор . Відношення приросту радіуса-вектора точки до приросту часу називається середньою швидкістю точки за проміжок часу , тобто

.

Вектор середньої швидкості напрямлений по вектору , тобто по хорді .

Рис. 84

Рис. 85

Швидкість точки в даний момент, або просто швидкість точки, – це граничне значення середньої швидкості, коли приріст часу прямує до нуля, тобто:

. (а)

Згідно з рівнянням (2.1) є неперервною функцією часу , а це означає, що границя цього відношення є похідна від за часом .

Отже,

. (2.2)

Швидкість точки дорівнює першій похідній за часом від її радіуса-вектора.

Зауваження. Похідні за часом в механіці прийнято позначити крапочками зверху, тобто: ; і т.д.

З отриманої формули видно:

1) швидкість точки – це вектор, про що було сказано вище;

2) вектор швидкості точки напрямлений по дотичній до її траєкторії в бік її руху, бо граничне положення вектора , коли , є положення дотичної до годографа вектора (рис. 85).

Д

Рис. 86

ля визначення пришвидшення точки знову розглянемо два її послідовні положення. Нехай в момент часу рухома точка перебуває в положенні і має швидкість , а в момент – в положенні , де її швидкість (рис. 86). Отже, за проміжок часу вектор швидкості точки отримав приріст . Цей приріст знайдемо, якщо вектор умовно перенесемо в точку і з’єднаємо кінці векторів і (рис. 86).

Відношення приросту вектора швидкості точки до приросту часу називається середнім пришвидшенням точки за проміжок часу , тобто:

Вектор середнього пришвидшення напрямляється по вектору (рис. 86).

Пришвидшення точки в даний момент часу, або просто пришвидшення точки, – це є граничне значення середнього пришвидшення коли приріст часу прямує до нуля, тобто:

Отже

(2.3)

Пришвидшення точки дорівнює першій похідній за часом від вектора її швидкості.

Якщо врахувати формулу (2.2) для швидкості, то отримаємо

(2.3)

Пришвидшення точки дорівнює другій похідній за часом від її радіуса-вектора.

З отриманих формул випливає:

1. Пришвидшення точки – це вектор.

2

Рис. 87

. Вектор пришвидшення точки напрямлений в бік вгнутості її траєкторії і лежить в стичній площині (рис. 86).

3. Вектор пришвидшення точки напрямлений по дотичній до годографа вектора її швидкості. І дійсно, якщо побудувати годограф вектора швидкості (рис. 87), то вектор – це хорда , граничне положення якої, коли , є дотична.