2.2 Кінематика твердого тіла

Тверде тіло, як і точка, може здійснювати як простий, так і складний рухи. До простих видів руху тіла відносяться поступальний рух твердого тіла і обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Ці рухи твердого тіла не можна звести ще до простіших видів руху, і тому є найпростішими видами руху твердого тіла. Всі інші види руху тіл, які спостерігаються в природі і техніці, є складними, бо, як буде показано в наступних розділах, вони складаються з найпростіших видів руху.

При вивченні кінематики як простих, так і складних видів руху твердого тіла розв’язуються дві задачі. З самого початку визначають кінематичні характеристики руху тіла як цілого об’єкта. Отримавши відповідні формули і співвідношення, приступають до визначення кінематичних характеристик руху окремої його точки. Отже, в кінематиці твердого тіла є формули, які визначають кінематичні характеристики руху тіла, і формули, які визначають кінематичні характеристики руху окремої його точки.

При русі твердого тіла радіуси-вектори двох його точок в кожний момент часу задовольняють таке співвідношення (рис. 95):

Рис. 95

Продиференціювавши цю залежність за часом, отримаємо

(2.31)

Отримана формула відображає залежність між швидкостями двох точок тіла в будь-якому його русі. Необхідно пам’ятати, що в цій формулі вектор може змінюватись тільки за напрямом. Його величина бо він з’єднує дві точки твердого тіла.

Якщо з рівності (2.31) взяти ще одну похідну за часом, то отримаємо залежність між пришвидшеннями двох точок тіла

. (2.32)

§ 42 Поступальний рух твердого тіла

Поступальним рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому будь-яка пряма, що проведена в тілі, залишається паралельною до свого початкового положення.

Найпростішими прикладами поступального руху тіла є:

1. Рух поршня в автомобільному двигуні.

2. Рух стола поздовжньо-стругального верстата.

3. Рух спарника паровозних коліс (рис. 96).

Н

Рис. 96

е треба ототожнювати поступальний рух твердого тіла з прямолінійним рухом. При прямолінійному русі всі точки тіла рухаються по прямій лінії, а при поступальному русі траєкторією точки може бути будь-яка крива.

Н

Рис. 97

ехай тіло (рис. 97) здійснює поступальний рух. Візьмемо дві довільні його точки і і позначимо:

– радіус-вектор точки ;

– радіус-вектор точки ;

– радіус-вектор точки відносно точки .

Оскільки тіло здійснює поступальний рух , то вектор не змінює свого напряму, тобто . Тоді формула (2.31) набуває вигляду

, (а)

тобто

. (б)

Отже,

при поступальному русі твердого тіла швидкості його точок геометрично рівні.

Проінтегрувавши векторну рівність (а), отримаємо

(в)

З отриманої векторної рівності бачимо, що положення точки в будь-який момент часу можна отримати шляхом зміщення точки на постійний вектор. Отже, траєкторія точки однакова з траєкторією точки , тільки зміщена на постійний вектор.

Диференціюючи рівність (б) за часом, отримаємо

або

(г)

тобто:

при поступальному русі твердого тіла пришвидшення його точок геометрично рівні.

Враховуючи отримане, можна сформулювати таку

теорему:

при поступальному русі тіла всі його точки описують однакові траєкторії і в кожний момент часу ма-ють геометрично рівні швидкості і пришвидшення.

А це означає, що поступальний рух твердого тіла визначається рухом окремої його точки.

Ця обставина уможливлює вивчення поступального руху тіла звести до вивчення руху однієї з його точок, тобто до задачі кінематики точки, яка розглянута вище. Наприклад, якщо необхідно записати рівняння поступального руху твердого тіла, то записують рівняння руху якої-небудь його точки

, , . (2.33)

Рівняння (2.33) за умови, що точка належить тілу, яке здійснює поступальний рух, називається рівнянням поступального руху твердого тіла. Як буде показано в наступному розділі теоретичної механіки, найефективніше такою точкою вибирати центр мас тіла.