- •Рецензенти:
- •76019, Івано-Франківськ, вул. Карпатська, 15 Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу
- •§ 2 Основні поняття теоретичної механіки
- •1 Статика твердого тіла
- •§ 3 Предмет статики твердого тіла
- •§ 4 Основні поняття статики
- •§ 5 В’язі та їх реакції
- •§ 6 Вихідні положення (аксіоми) статики
- •1. Аксіома зрівноваження двох сил.
- •2. Аксіома приєднання і виключення зрівноваженої системи сил.
- •3. Аксіома дії і протидії (ііі-ій закон Ньютона).
- •4. Аксіома накладання додаткових в’язей.
- •5. Аксіома паралелограма.
- •1.1 Система збіжних сил
- •§ 7 Зведення системи збіжних сил до канонічного вигляду
- •1. Геометричний спосіб визначення рівнодійної.
- •2. Аналітичний спосіб визначення рівнодійної.
- •§ 8 Умови і рівняння рівноваги системи збіжних сил
- •1. Геометрична умова рівноваги.
- •2. Аналітичні умови рівноваги. Рівняння рівноваги.
- •§ 9 Алгоритм розв’язання задач на рівновагу
- •Питання для самоконтролю
- •1.2 Теорія моменту сил
- •§ 10 Момент сили відносно точки
- •§ 11 Момент сили відносно осі
- •§ 12 Залежність між моментом сили відносно точки і моментом сили відносно осі, яка проходить через цю точку
- •§ 13 Аналітичне визначення моменту сили відносно довільної точки
- •§ 14 Теорема Варіньйона
- •Питання для самоконтролю
- •1.3 Довільна система сил
- •§ 15 Головний вектор і головний момент системи сил
- •1. Геометричний спосіб
- •2. Аналітичний спосіб
- •§ 16 Пара сил і її момент
- •§ 17 Еквівалентність пар сил
- •§ 18 Додавання пар сил
- •§ 19 Лема про паралельний перенос сили
- •§ 20 Зведення довільної системи сил до заданого центра
- •§ 21 Окремі випадки зведення довільної системи сил
- •§ 22 Інваріанти довільної системи сил
- •§ 23 Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил
- •§ 24 Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил
- •§ 25 Статично означені і статично неозначені задачі
- •§ 26 Рівновага системи тіл
- •Питання для самоконтролю
- •1.4 Деякі спеціальні питання статики
- •§ 27 Тертя ковзання
- •§ 28 Конус тертя. Область рівноваги
- •§ 29 Тертя кочення
- •§ 30 Поняття про ферми
- •Питання для самоконтролю
- •1.5 Система паралельних сил. Центр ваги твердого тіла
- •§ 31 Зведення системи паралельних сил до канонічного вигляду
- •§ 32 Центр ваги твердого тіла
- •1. Центр ваги однорідного тіла (центр ваги об’єму)
- •2. Центр ваги площі однорідного плоского тіла (центр ваги площі)
- •3. Центр ваги однорідного лінійного тіла (центр ваги лінії)
- •§ 33 Центр ваги деяких простих геометричних фігур
- •§ 34 Способи визначення положення центра ваги тіла
- •Питання для самоконтролю
- •2 Кінематика
- •§ 35 Предмет кінематики
- •2.1 Кінематика точки
- •§ 36 Векторний спосіб вивчення руху точки
- •§ 37 Координатний спосіб вивчення руху точки
- •§ 38 Швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах
- •§ 39 Натуральна система координат
- •§ 40 Натуральний спосіб вивчення руху точки
- •§ 41 Класифікація руху точки за її пришвидшеннями
- •Питання для самоконтролю
- •2.2 Кінематика твердого тіла
- •§ 42 Поступальний рух твердого тіла
- •§ 43 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.1 Рівняння обертання тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.2 Рівняння рівномірного і рівнозмінного обертання
- •§ 43.3 Швидкість і пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі
- •§ 43.4 Вектор кутової швидкості
- •§ 43.5 Векторні вирази швидкості, доцентрового і обертального пришвидшень точки тіла при обертальному русі
- •Питання для самоконтролю
- •2.1 Кінематика складного руху точки
- •§ 44 Складний рух точки
- •§ 44.1 Основні поняття і визначення
- •§ 44.2 Теорема про складання швидкостей
- •§ 44.3 Теорема про складання пришвидшень (Теорема Коріоліса)
- •§ 44.4 Коріолісове пришвидшення і його визначення
- •Питання для самоконтролю
- •2.4 Кінематика складного руху твердого тіла
- •§ 45 Складний рух твердого тіла
- •§ 46 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла
- •§ 46.1 Основні поняття і визначення
- •§ 46.2 Рівняння руху плоскої фігури
- •§ 46.3 Рівняння руху точки плоскої фігури
- •§ 46.4 Теорема про швидкості точок плоскої фігури та її наслідок
- •§ 46.5 Миттєвий центр швидкостей
- •§ 46.6 Способи визначення положення миттєвого центра швидкостей
- •§ 46.7 Теорема про пришвидшення точок плоскої фігури
- •§ 46.8 Миттєвий центр пришвидшень
- •Питання для самоконтролю
- •§ 47 Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.1 Кути Ейлера. Рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.2 Теорема Ейлера-Даламбера
- •§ 47.3 Кутова швидкість і кутове пришвидшення тіла, що обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.4 Швидкість точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.5 Пришвидшення точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •Питання для самоконтролю
- •§ 48 Рух вільного твердого тіла
- •Питання для самоконтролю
- •§ 49 Синтез рухів
- •§ 49.1 Складання поступальних рухів твердого тіла
- •§ 49.2 Складання поступального і обертального рухів твердого тіла
- •§ 49.3 Складання обертань навколо осей, що перетинаються
- •§ 49.4 Складання обертань навколо паралельних осей
- •Питання для самоконтролю
- •§ 50 Аналогії між кінематикою і статикою
- •1 Проекція вектора на площину
- •2 Проекція вектора на вісь
- •3 Приклади розв’язування задач на рівновагу тіла
- •4 Додавання двох паралельних сил
- •5 Доведення теореми про еквівалентність пар сил
- •6 Найменше значення головного моменту системи сил
- •Список використаної літератури, деяких підручників і навчальних посібників з теоретичної механіки
- •Предметний покажчик
§ 43.2 Рівняння рівномірного і рівнозмінного обертання
Обертання з постійною кутовою швидкістю називається рівномірним.
Отже, для рівномірного обертання Оскільки за формулою (2.35)
то
Інтегруючи і враховуючи, що в даному випадку є сталою величною, отримуємо
(2.40)
де – початковий кут повороту. Рівняння (2.40) – це рівняння рівномірного обертання тіла навколо нерухомої осі.
Обертання з постійним кутовим пришвидшенням називається рівнозмінним.
Отже, для рівнозмінного обертання З формули (2.36) маємо
тобто:
.
Інтегруючи і маючи на увазі, що отримаємо
(а)
Знаючи, що маємо
Ще раз інтегруючи, знаходимо
(б)
Сталі інтегрування і визначимо з початкових умов. Припустимо, що при кутова швидкість , а кут повороту Тоді з виразів (а) і (б) знайдемо, що Остаточно матимемо
закон зміни алгебраїчної кутової швидкості при рівнозмінному обертанні
(2.41)
закон рівнозмінного обертання тіла навколо нерухомої осі
(2.42)
У формулах (2.40)-(2.41) , , де і – величини кутової швидкості і кутового пришвидшення.
§ 43.3 Швидкість і пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі
Як було сказано вище, траєкторіями точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, є кола, площини яких перпендикулярні до осі обертання і центри яких лежать на цій осі. Радіуси цих кіл, а це будуть відстані точок до осі обертання, позначають буквою На рис. 101 зображено траєкторією деякої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
Т
Рис. 101
– слід нерухомої площини;
– слід рухомої площини;
– кут повороту тіла;
– кут, який визначає положення точки відносно рухомої площини
Оскільки відомо траєкторію, по якій рухається точка то для визначення її кінематичних характеристик руху використаємо положення і формули натурального способу задання руху точки.
Як відомо (див. § 40), в натуральному способі задання руху точки положення її на траєкторії визначається дуговою координатою В даному випадку такою дуговою координатою є дуга отже
.
Якщо радіус кола, по якому рухається точка позначити то матимемо
(2.43)
Рівняння (2.43) – це закон руху по траєкторії точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі. В даному рівнянні є функцією часу і в загальному випадку змінюється за законом (2.34), а кут
За формулою (2.19) визначимо величину швидкості точки
,
. (2.44)
Отже,
швидкість точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, за величиною дорівнює добутку кутової швидкості на відстань точки до осі обертання.
Вектор швидкості точки напрямлений по дотичній до траєкторії, в даному випадку до кола, що описується точкою , в бік обертання. Оскільки дотична до кола перпендикулярна до його радіуса, котрий проведений в точку дотику, то вектор швидкості точки буде перпендикулярним до її радіуса обертання ( рис. 101). Зауважимо, що швидкість точки тіла, яке обертається, часто називають обертальною швидкістю, а (2.44) – формула, що визначає величину обертальної швидкості.
За формулами (2.25), (2.22), (2.24), які визначають пришвидшення точки в натуральному способі задання її руху, визначимо пришвидшення точки
Отже,
пришвидшення точки тіла, яке обертається нав-коло нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі її нормального і тангенціального пришвидшень
(2.45)
Виразимо складові пришвидшення через кінематичні характеристики обертального руху тіла, тобто через і . Маючи на увазі, що радіус кривизни траєкторії точки при русі її по колу дорівнює радіусу цього кола, з формули нормального пришвидшення , використовуючи формулу (2.44), отримуємо
,
. (2.46)
Нормальне пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку квадрата кутової швидкості на відстань точки до осі обертання.
З формули отримаємо
,
; . (2.47)
Отже,
алгебраїчне значення тангенціального пришвидшен-ня точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює добутку алгебраїчного кутового пришвидшення на відстань точки до осі обертання.
Я
Рис. 102
Повне пришвидшення визначається діагоналлю прямокутника, побудованого на тангенціальному і нормальному пришвидшеннях. Його величина вираховується за формулою
. (2.48)
Напрям вектора повного пришвидшення визначається кутом нахилу цього вектора до радіуса. Тангенс цього кута (рис. 102)
(2.49)
З отриманої формули маємо, що кут нахилу до радіуса кола вектора повного пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, не залежить від положення точки, яке визначається її радіусом, і для всіх точок він має одне і те ж значення.
Я
Рис. 103
Формули (2.44)-(2.47) визначають вектор пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі
Примітка. Часто нормальне пришвидшення точок тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, називають доцентровим і позначають (в російській літературі – центро- стремительное ускорение), а тангенціальне пришвидшення називають обертальним пришвидшенням і позначають (в російській літературі – вращательное ускорение). При таких позначеннях формула (2.44) набуває вигляду
(2.49, а)
і читається так:
пришвидшення точок тіла, яке обертається нав-коло нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі її доцентрового і обертального пришвидшень.