- •Рецензенти:
- •76019, Івано-Франківськ, вул. Карпатська, 15 Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу
- •§ 2 Основні поняття теоретичної механіки
- •1 Статика твердого тіла
- •§ 3 Предмет статики твердого тіла
- •§ 4 Основні поняття статики
- •§ 5 В’язі та їх реакції
- •§ 6 Вихідні положення (аксіоми) статики
- •1. Аксіома зрівноваження двох сил.
- •2. Аксіома приєднання і виключення зрівноваженої системи сил.
- •3. Аксіома дії і протидії (ііі-ій закон Ньютона).
- •4. Аксіома накладання додаткових в’язей.
- •5. Аксіома паралелограма.
- •1.1 Система збіжних сил
- •§ 7 Зведення системи збіжних сил до канонічного вигляду
- •1. Геометричний спосіб визначення рівнодійної.
- •2. Аналітичний спосіб визначення рівнодійної.
- •§ 8 Умови і рівняння рівноваги системи збіжних сил
- •1. Геометрична умова рівноваги.
- •2. Аналітичні умови рівноваги. Рівняння рівноваги.
- •§ 9 Алгоритм розв’язання задач на рівновагу
- •Питання для самоконтролю
- •1.2 Теорія моменту сил
- •§ 10 Момент сили відносно точки
- •§ 11 Момент сили відносно осі
- •§ 12 Залежність між моментом сили відносно точки і моментом сили відносно осі, яка проходить через цю точку
- •§ 13 Аналітичне визначення моменту сили відносно довільної точки
- •§ 14 Теорема Варіньйона
- •Питання для самоконтролю
- •1.3 Довільна система сил
- •§ 15 Головний вектор і головний момент системи сил
- •1. Геометричний спосіб
- •2. Аналітичний спосіб
- •§ 16 Пара сил і її момент
- •§ 17 Еквівалентність пар сил
- •§ 18 Додавання пар сил
- •§ 19 Лема про паралельний перенос сили
- •§ 20 Зведення довільної системи сил до заданого центра
- •§ 21 Окремі випадки зведення довільної системи сил
- •§ 22 Інваріанти довільної системи сил
- •§ 23 Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил
- •§ 24 Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил
- •§ 25 Статично означені і статично неозначені задачі
- •§ 26 Рівновага системи тіл
- •Питання для самоконтролю
- •1.4 Деякі спеціальні питання статики
- •§ 27 Тертя ковзання
- •§ 28 Конус тертя. Область рівноваги
- •§ 29 Тертя кочення
- •§ 30 Поняття про ферми
- •Питання для самоконтролю
- •1.5 Система паралельних сил. Центр ваги твердого тіла
- •§ 31 Зведення системи паралельних сил до канонічного вигляду
- •§ 32 Центр ваги твердого тіла
- •1. Центр ваги однорідного тіла (центр ваги об’єму)
- •2. Центр ваги площі однорідного плоского тіла (центр ваги площі)
- •3. Центр ваги однорідного лінійного тіла (центр ваги лінії)
- •§ 33 Центр ваги деяких простих геометричних фігур
- •§ 34 Способи визначення положення центра ваги тіла
- •Питання для самоконтролю
- •2 Кінематика
- •§ 35 Предмет кінематики
- •2.1 Кінематика точки
- •§ 36 Векторний спосіб вивчення руху точки
- •§ 37 Координатний спосіб вивчення руху точки
- •§ 38 Швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах
- •§ 39 Натуральна система координат
- •§ 40 Натуральний спосіб вивчення руху точки
- •§ 41 Класифікація руху точки за її пришвидшеннями
- •Питання для самоконтролю
- •2.2 Кінематика твердого тіла
- •§ 42 Поступальний рух твердого тіла
- •§ 43 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.1 Рівняння обертання тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.2 Рівняння рівномірного і рівнозмінного обертання
- •§ 43.3 Швидкість і пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі
- •§ 43.4 Вектор кутової швидкості
- •§ 43.5 Векторні вирази швидкості, доцентрового і обертального пришвидшень точки тіла при обертальному русі
- •Питання для самоконтролю
- •2.1 Кінематика складного руху точки
- •§ 44 Складний рух точки
- •§ 44.1 Основні поняття і визначення
- •§ 44.2 Теорема про складання швидкостей
- •§ 44.3 Теорема про складання пришвидшень (Теорема Коріоліса)
- •§ 44.4 Коріолісове пришвидшення і його визначення
- •Питання для самоконтролю
- •2.4 Кінематика складного руху твердого тіла
- •§ 45 Складний рух твердого тіла
- •§ 46 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла
- •§ 46.1 Основні поняття і визначення
- •§ 46.2 Рівняння руху плоскої фігури
- •§ 46.3 Рівняння руху точки плоскої фігури
- •§ 46.4 Теорема про швидкості точок плоскої фігури та її наслідок
- •§ 46.5 Миттєвий центр швидкостей
- •§ 46.6 Способи визначення положення миттєвого центра швидкостей
- •§ 46.7 Теорема про пришвидшення точок плоскої фігури
- •§ 46.8 Миттєвий центр пришвидшень
- •Питання для самоконтролю
- •§ 47 Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.1 Кути Ейлера. Рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.2 Теорема Ейлера-Даламбера
- •§ 47.3 Кутова швидкість і кутове пришвидшення тіла, що обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.4 Швидкість точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.5 Пришвидшення точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •Питання для самоконтролю
- •§ 48 Рух вільного твердого тіла
- •Питання для самоконтролю
- •§ 49 Синтез рухів
- •§ 49.1 Складання поступальних рухів твердого тіла
- •§ 49.2 Складання поступального і обертального рухів твердого тіла
- •§ 49.3 Складання обертань навколо осей, що перетинаються
- •§ 49.4 Складання обертань навколо паралельних осей
- •Питання для самоконтролю
- •§ 50 Аналогії між кінематикою і статикою
- •1 Проекція вектора на площину
- •2 Проекція вектора на вісь
- •3 Приклади розв’язування задач на рівновагу тіла
- •4 Додавання двох паралельних сил
- •5 Доведення теореми про еквівалентність пар сил
- •6 Найменше значення головного моменту системи сил
- •Список використаної літератури, деяких підручників і навчальних посібників з теоретичної механіки
- •Предметний покажчик
§ 49.2 Складання поступального і обертального рухів твердого тіла
Розглянемо складний рух твердого тіла, який складається з поступального і обертального навколо деякої осі. Тут можуть зустрітись такі випадки: вектор швидкості поступального руху є: а) перпендикулярним до осі обертання; б) паралельним до осі обертання; в) утворює з віссю обертання довільний кут. Розглянемо окремо кожний з цих випадків.
а) Швидкість поступального руху перпендикулярна до осі обертання
Прикладом такого руху є рух автомобільних коліс, які рухаються поступально разом з автомобілем і одночасно обертаються навколо відповідних осей, до того ж в кожний момент часу швидкість поступального руху перпендикулярна до осі обертання колеса.
Припустимо, що тіло обертається з кутовою швидкістю навколо осі , яка жорстко скріплена з іншим тілом (наприклад, з площиною ), яке рухається поступально зі швидкістю , перпендикулярною до осі (рис. 146). Для визначення результуючого руху на осі візьмемо довільну точку , через яку проведемо осі і , причому вісь проведемо паралельно до вектора . На осі візьмемо точку на відстані
(а)
і визначимо її швидкість. Тіло здійснює складний рух, отже кожна його точка здійснює складний рух, а це означає, що швидкість точки можна обчислити за формулою
. (б)
За переносний рух приймемо поступальний рух твердого тіла, тоді переносна швидкість кожної точки тіла буде дорівнювати , тобто:
. (в)
Рис. 146
За відносний рух приймемо обертання твердого тіла навколо осі , тоді величина відносної швидкості кожної точки тіла буде дорівнювати добутку кутової швидкості на відстань даної точки до осі обертання. Для точки , враховуючи співвідношення (а), отримаємо
. (г)
Вектор відносної швидкості як вектор обертальної швидкості буде перпендикулярним до відповідного радіуса. Для точки і напрямлений в бік обертання, як вказано на рис. 146.
Підставляючи (в) і (г) у формулу (б) і враховуючи, що вектори і напрямлені по одній прямій в протилежні боки, отримаємо
,
тобто абсолютна швидкість точки в даний момент часу дорівнює нулеві.
Якщо через точку паралельно до осі провести вісь і врахувати, що на осі точку вибрано довільно (отже, і точка є довільною точкою осі ), то можна зробити такий висновок: вісь є геометричне місце точок, абсолютні швидкості яких в даний момент часу дорівнюють нулеві, тобто вона є миттєвою віссю абсолютного обертання, а це означає, що результуючий рух твердого тіла в даний момент часу є обертальним.
Таким чином,
при складанні поступального і обертального рухів твердого тіла у випадку, коли швидкість поступального руху перпендикулярна до осі обертання, результуючий рух тіла в кожний момент часу є обертальним навколо миттєвої осі обертання, паралельної до осі обертання складового руху, і знаходиться від неї на відстані d, яка визначається за формулою
. (2.97)
Відрізок відкладається вздовж перпендикуляра до площини, яка проходить через вектори і в бік, звідки поворот вектора до на кут видно проти руху годинникової стрілки.
Позначимо кутову швидкість результуючого (абсолютною) руху і визначимо її. Для цього за формулою
(д)
визначимо абсолютну швидкість точки . Кожний з векторів які входять в рівність (д), легко обчислити:
, адже абсолютний рух, як було тільки що доведено, є обертальним навколо миттєвої осі ;
, бо переносний рух, як було прийнято, є поступальним зі швидкістю ;
, точка знаходиться на осі відносного обертання.
Враховуючи все це, з рівності (д) отримаємо
.
Звідки, враховуючи формулу (а), матимемо
,
кутова швидкість результуючого (абсолютного) руху дорівнює кутовій швидкості складового обертання.
На закінчення звернемо увагу на те, що цей вид руху тіла є не що інше як плоскопаралельний рух, який, як відомо, визначається рухом плоскої фігури в її площині. Саму плоску фігуру отримаємо шляхом перетину тіла площиною, перпендикулярною до осі . Миттєвий центр швидкостей, навколо якого плоска фігура в даний момент часу здійснює обертальний рух, буде знаходитися в точці її перетину з миттєвою віссю ( ) обертання тіла.
б) Швидкість поступального руху паралельна осі обертання
П
Рис.
147
На рис. 147 зображено тіло , яке обертається навколо осі з кутовою швидкістю і одночасно рухається зі швидкістю , причому . Швидкість будь-якої точки , яка, як і все тіло, здійснює складний рух, буде визначатись формулою
. (а)
Прийнявши за переносний рух поступальний рух твердого тіла, а за відносний – його обертання навколо осі , матимемо
; ,
і формула (а) набуває вигляду
. (б)
Таким чином, абсолютна швидкість точки може бути розкладена на дві складові: одна з них паралельна до осі ; інша знаходиться в площині, яка перпендикулярна до осі, до того ж вона перпендикулярна до площини, яка проходить через вісь і точку (рис. 147). Звідси можна зробити висновок, що точки тіла рухаються по бокових поверхнях циліндрів з віссю і радіусом , де – відстань точки до осі , а траєкторією їх є гвинтові лінії.
Отже,
при складанні поступального і обертального рухів твердого тіла у випадку, коли швидкість поступального руху паралельна осі обертання, результуючий (абсолютний) рух тіла є гвинтовим, бо його точки описують гвинтові лінії.
Однієї з основних геометричних характеристик гвинта є його крок.
Кроком гвинта називається відстань, яку проходить точка осі гвинта за один оберт тіла.
Точки осі гвинта рухаються зі швидкістю . Припустивши, що , , отримаємо формулу, яка визначає крок ( ) кінематичного гвинта
. (2.98)
Відношення
(2.99)
називається параметром кінематичного гвинта.
Якщо швидкості і змінні, то, природно, параметри кінематичного гвинта будуть змінними.
в) Швидкість поступального руху утворює довільний кут з віссю обертання
Н
Рис.
148
,
одна з яких перпендикулярна до осі , причому
,
інша – паралельна до осі .
.
Застосовуючи принцип незалежності рухів і склавши поступальний рух з швидкістю з обертанням навколо осі , отримаємо, згідно з пунктом (а), миттєвий обертальний рух навколо миттєвої осі , яка паралельна до осі з кутовою швидкістю . Математично це можна записати так:
.
Відстань до миттєвої осі обертання можна визначити за формулою (2.97)
.
Тепер, якщо скласти миттєвий обертальний рух навколо осі з поступальним рухом з швидкістю , яка паралельна осі , то, згідно з пунктом б), отримаємо в кожний момент часу гвинтовий рух, тобто (миттєвий гвинтовий рух навколо ).
Крок гвинта в даному випадку буде визначатись формулою
. (2.100)