§ 37 Координатний спосіб вивчення руху точки

В

Рис. 88

даному способі положення рухомої точки в просторі визначається координатами. Значення цих координат суттєво залежить від вибраної системи координат: декартова, циліндрична, сферична і т.д. В механіці, як і в математиці, найчастіше використовують декартову систему координат, в якій положення рухомої точки в просторі визначається координатами (рис. 88). При русі точки ці координати змінюються, тобто є деякими функціями часу

(2.5)

Рішення (2.5) ­називаються кінематичними рівняннями руху точок в декартовій системі координат. Передбачається, що функції , і є однозначними, неперервними і принаймні два рази неперервно диференційованими.

Легко встановити зв’язок між векторним і координатним способами задання руху точки. З рис. 88 видно, що

, (2.6)

де – орти відповідних осей координат.

З математичної точки зору рівняння (2.5) – це параметричні рівняння лінії в просторі. Очевидно, цією лінією є траєкторія рухомої точки. Отже, рівняння (2.5) є також рівняннями траєкторії точки в параметричній формі. Виключивши з рівнянь (2.5) параметр , отримаємо рівняння траєкторії в явній формі. Виключення можна провести за такою схемою. З першого рівняння системи (2.5) знаходимо як функцію

,

і цей вираз підставляємо в друге і третє рівняння. Тоді отримаємо

(2.7)

Отримані результати є рівняннями траєкторії точки в декартових координатах. Треба зазначити, що тут приведено лише схему виключення параметрів . На практиці залежно від заданих рівнянь, наших знань і умінь застосовують різноманітні способи виключення параметра .

Приклад. Знайти рівняння траєкторії точки, рух якої описується рівняннями

,

Розв’язання. Знаючи, що , виключення параметра проводимо так:

Це є рівняння еліпса. Отже, траєкторія точки є еліпс, а виключення параметра проведено за допомогою тригонометричної тотожності.

Для отримання формул, за допомогою яких визначається швидкість точки, коли рух її задано координатним способом, тобто задані рівняння (2.5), використаємо формули (2.2) і (2.6). Підставивши (2.6) в (2.2), отримаємо

Оскільки , то маємо

Звідси, згідно з основними положеннями векторної алгебри отримаємо, що проекції вектора швидкості на декартові осі координат будуть визначатись за формулами

(2.8)

тобто:

проекції вектора швидкості на декартові осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат.

За отриманими проекціями визначаємо величину вектора швидкості

(2.9)

і його напрямні косинуси

(2.10)

Отримані формули (2.8)-(2.10) визначають вектор швидкості точки у випадку, коли рух її задано в декартовій системі координат, тобто задані рівняння (2.5).

Використовуючи формули (2.4) і залежність (2.6), отримаємо формули для визначення пришвидшення. Підставляючи (2.6) в (2.4), отримаємо

або

Звідси, згідно з основними положеннями векторної алгебри проекції вектора пришвидшення на декартові осі координат будуть визначатись формулами

(2.11)

тобто:

проекції вектора пришвидшення на декартові осі координат дорівнюють другим похідним за часом від відповідних координат.

Знаючи проекції, за формулою

(2.12)

вираховуємо величину вектора пришвидшення, а його напрямні косинуси – за формулами

(2.13)

Формули (2.11)-(2.13) визначають вектор пришвидшення точки у випадку, коли рух її задано в декартовій системі координат, тобто задано рівняннями (2.5).