§ 46.6 Способи визначення положення миттєвого центра швидкостей

Користуючись поняттям миттєвого центра швидкостей, набагато спрощується визначення швидкостей точок плоскої фігури. Положення самого миттєвого центра швидкостей можна визначити або з механічної умови задачі, або за відомими швидкостями точок плоскої фігури.

З

Рис. 121

попереднього відомо, що миттєвий центр швидкостей знаходиться на перпендикулярі, поставленому до вектора швидкості полюса. Звідси випливає, що, коли відомі напрями швидкостей і двох точок А і В плоскої фігури (рис. 121), то миттєвий центр швидкостей Р буде знаходитися в точці перетину перпендикулярів, поставлених в точках А і В до напрямів векторів швидкостей цих точок.

Інші часткові випадки знаходження положення миттєвого центра швидкостей зображені на рис. 122.

Рис. 122

Всі вони відповідають основним положенням, які були сформульовані вище.

Зазначимо, що у випадку, зображеному на рис. 122 в, миттєвий центр швидкостей плоскої фігури знаходиться в нескінченності. Кутова швидкість плоскої фігури, яка визначається за формулою (див. 2.70)

, або ,

буде дорівнювати нулеві. Це означає, що обертальні швидкості всіх точок плоскої фігури навколо полюса дорівнюють нулеві. Звідси випливає, що швидкість всіх точок плоскої фігури дорівнюють швидкості полюса, тобто в даний момент часу плоска фігура буде здійснювати миттєво поступальний рух. Для цього руху швидкості всіх точок плоскої фігури геометрично рівні

,

а пришвидшення загалом різні

.

Якщо плоска фігура котиться по нерухомій поверхні без ковзання (наприклад, колесо – рис. 123), то її миттєвий центр ш

Рис. 123

видкостей знаходиться в точці дотику плоскої фігури з нерухомою поверхнею. Адже ця точка одночасно належить плоскій фігурі і поверхні, і її швидкість в даний момент дорівнює нулеві, бо поверхня нерухома. При русі плоскої фігури положення миттєвого центра швидкостей змінюється.

Геометричне місце послідовних положень на площині миттєвого центра швидкостей (або лінія, яка описується миттєвим центром швидкостей) називається центроїдою.

В

Рис. 124

плоскопаралельному русі розрізняють дві центроїди: рухому і нерухому (рис. 124).

Нерухома центроїда – це лінія, яка описується миттєвим центром швидкостей в нерухомій площині.

Рухома центроїда – це лінія, яка описується миттєвим центром швидкостей в рухомій площині, яка з’єднана з плоскою фігурою. При русі плоскої фігури рухома центроїда котиться без ковзання по нерухомій центроїді (рис. 124).

§ 46.7 Теорема про пришвидшення точок плоскої фігури

Розглянемо плоску фігуру, котра переміщається в площині рисунка (рис. 125). За полюс плоскої фігури візьмемо точку О, яка в цей момент часу має пришвидшення . Нехай навколо полюса плоска фігура обертається з кутовою швидкістю , маючи в даний момент кутове пришвидшення , як вказано на рис. 125.

В

Рис. 125

ізьмемо довільну точку К плоскої фігури, положення якої відносно полюса О визначається радіусом-вектором , і визначимо її пришвидшення.

Оскільки рух плоскої фігури є складним рухом, який складається з поступального руху разом з полюсом і обертального руху навколо полюса, то кожна точка плоскої фігури здійснює також складний рух. Якщо так, то пришвидшення будь-якої точки плоскої фігури можна визначити за теоремою Коріоліса (див. формулу 2.59).

. (а)

Прийнявши поступальний рух плоскої фігури за переносний рух, отримаємо, що переносне пришвидшення всіх точок плоскої фігури буде однакове і дорівнюватиме пришвидшенню полюса

. (б)

Коріолісове пришвидшення всіх точок плоскої фігури буде дорівнювати нулеві, бо переносний рух є поступальним

. (в)

Відносним рухом плоскої фігури є обертання її навколо полюса О, тому відносне пришвидшення точки К буде визначатися, як визначається пришвидшення точки в обертальному русі (див. формули 2.49 а, 2.56, 2.57)

. (г)

Підставляючи (б, в, г) у формулу (а), отримуємо

. (2.71)

Пришвидшення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі пришвидшення полюса і пришвидшення даної точки в обертанні навколо полюса.

Формулу (2.71) з врахуванням залежності (г) можна представити і так:

. (2.72)

Пришвидшення будь-якої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі трьох пришвидшень: при-швидшення полюса, обертального і доцентрового пришвидшень даної точки в обертанні навколо полюса.

О

Рис. 126

тримані формули (2.71) або (2.72) виражають теорему про пришвидшення точок плоскої фігури. Отже, згідно з даною теоремою, щоб знайти пришвидшення деякої точки плоскої фігури, необхідно мати пришвидшення полюса і визначити пришвидшення даної точки в обертанні навколо полюса. Останнє складається з доцентрового пришвидшення, величина якого обчислюються за формулою (див. формулу 2.46)

і вектор якого напрямлений від точки К до полюса, і обертального пришвидшення, величина якого обчислюється за формулою (див. 2.47)

і вектор якого напрямлений перпендикулярно до відрізка ОК в бік кутового пришвидшення (рис. 126). Геометрично склавши і , отримаємо пришвидшення точки в обертальному русі навколо полюса О, величина якого знаходиться за формулою

. (2.73)

Цей вектор утворює кут з відрізком ОК. Тангенс цього кута визначається за формулою

. (2.74)

Вектор загального пришвидшення точки К є діагональ паралелограма, побудованого на векторах пришвидшень і (рис. 126).