§ 38 Швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах

Я

Рис. 89

к практичне застосування отриманих формул, визначи-мо швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах. З математики відомо, що положення точки на площині можна визначити параметрами і , які є координатами полярної системи координат (рис. 89). На цьому рисунку для наочності зображено і декартову систему координат . При русі точки координати і неперервно змінюються, тобто є функціями часу

(2.14)

Записані рівняння є рівняннями руху точки в полярних координатах. З рис. 89 видно, що залежність між декартовими і полярними координатами визначається співвідношеннями

(а)

Продиференціювавши співвідношення (а) за часом, отримаємо проекції вектора швидкості точки на декартові осі координат

(б)

і, використовуючи формулу (2.9), визначимо величину вектора швидкості

Отже,

(2.15)

Ф

Рис. 90

ормула (2.15) визначає величину швидкості точки, рух якої задано в полярних координатах, тобто визначається рівняннями (2.14). Введемо одиничні вектори полярної системи координат: напрямлений по радіусу-вектору в бік зростання і , повернутий відносно на кут в бік зростання кута (рис. 89). Із формули (2.15) видно, що швидкість точки в полярній системі координат дорівнює сумі двох взаємно перпендикулярних векторів: – радіальної складової і – поперечної (трансверсальної) складової. Якщо і додатних знаків, то вектори і співпадають із напрямами одиничних векторів і і навпаки, якщо і від’ємних знаків, то і вектори і мають напрями, протилежні до і (рис. 90).

За допомогою формул (2.11) і (2.12) визначимо пришвидшення точки. Для цього співвідношення (б) ще раз диференціюємо за часом

Згрупувавши окремі члени, отримаємо

Величину вектора пришвидшення визначимо за формулою

. (2.16)

Формула (2.16) визначає величину вектора пришвидшення точки, рух якої задано в полярних координатах, тобто визначається рівняннями (2.14).

Із формули (2.16) видно, що пришвидшення точки в полярній системі координат дорівнює сумі двох взаємно перпен-дикулярних векторів: – радіальної складової і – трансверсальної складової. Напрями векторів і визначаються так само, як і напрями векторів швидкості, і залежать від знаків алгебраїчних величин і . Вектори і для випадку і показані на рис. 90.

§ 39 Натуральна система координат

На просторовій кривій , яка є траєкторією руху точки, розглянемо два близькі положення точки (рис. 91, а).

Проведемо в цих точках дотичні до кривої, орти яких позначимо відповідно і . Перенесемо вектор паралельно самому собі в точку і через вектори і проведемо площину. Граничне положення цієї площини при наближенні точки до точки називається стичною площиною (площина І). Через точку , перпендикулярну до дотичної , проведемо площину, яка називається нормальною площиною (площина ІІ на рис. 91, а). Очевидно, що будь-яка пряма, проведена в цій площині через точку , буде перпендикулярна до , тобто буде нормаллю кривої.

Ліня перетину стичної і нормальної площин називається головною нормаллю кривої. Площина, проведена через точку перпендикулярно до головної нормалі, називається спрямною площиною (площина ІІІ на рис. 91, а). Лінія перетину спрямної і нормальної площин називається бінормаллю кривої. Стична, нормальна і спрямна площини утворюють натуральний тригранник.

Рис. 91

Таким чином, в кожній точці кривої можна провести три взаємно перпендикулярні напрями і прийняти їх за координатні осі: дотичну, напрямлену в бік зростання дугової координати; головну нормаль, напрямлену в бік вгнутості кривої, і бінормаль, напрямлену перпендикулярно до дотичної і головної нормалі так, щоб утворити з ними праву систему осей (рис. 91, а). Якщо поміняти напрям додатного відрахунку на кривій, то поміняють свій напрям дотична вісь і бінормаль (рис. 91, б).

Орти цих осей позначають

Осі дотична, головна нормаль і бінормаль утворюють натуральну систему координат з початком в рухомій точці, а отже, і рухаються разом з нею, залишаючись взаємно перпендикулярними.