§ 21 Окремі випадки зведення довільної системи сил

Зводячи довільну просторову системи сил до заданого центра, можемо зустрітись з одним з чотирьох випадків.

1. Головний вектор і головний момент заданої системи сил відповідно дорівнюють нулеві

(1.44)

В цьому випадку згідно з еквівалентністю (1.43) маємо

тобто,

0,

дія заданої системи сил на тверде тіло еквівалентна нулеві, а це означає, що вона є зрівноваженою. Отже, рівності (1.44) є векторними умовами зрівноваження довільної системи сил, які формулюються так:

для рівноваги довільної системи сил необхідно і достатньо, щоб її головний вектор і головний момент дорівнювали нулеві.

2. Головний вектор заданої системи сил дорівнює нулеві , а головний її момент не дорівнює нулеві . В цьому випадку система сил зводиться до пари сил, момент якої дорівнює головному моменту заданої системи сил відносно центра зведення , тобто, геометричній сумі моментів всіх сил системи відносно центра зведення.

3. Припустимо тепер, що головний вектор системи сил не дорівнює нулеві , а головний момент її дорівнює нулеві . В цьому випадку у відповідності з (1.43) маємо

,

тобто

.

Але, якщо деяка система сил зводиться до однієї сили, то ця сила називається рівнодійною.

Отже, в даному випадку система сил зводиться до рівнодійної , яка прикладена в центрі зведення і геометрично рівна головному вектору системи.

4. Нехай головний вектор і головний момент системи не дорівнюють нулеві . Тут можуть бути два випадки:

а). Головний вектор і головний момент взаємно перпендикулярні .

В цьому випадку відносно центра зведення О (рис. 42) маємо силу і пару сил з моментом . До того ж вектор моменту пари буде перпендикулярний до вектора сили . Отриману систему можна спростити. Для цього вектор моменту пари зобразимо парою, яку розмістимо так, щоб одна з сил пари (сила на рис. 43) була прикладена в бік, протилежний напряму сили . Візьмемо сили , які становлять пару, чисельно рівними силі , тоді плече цієї пари братимемо рівним . Дві сили і , які прикладені в точці О, взаємно зрівноважуються і їх можна виключити, в результаті чого залишиться одна сила , прикладена в точці С (рис. 44). Отже, в цьому випадку система сил зводиться до однієї сили, тобто до рівнодійної, геометрично рівної головному вектору системи. Точка прикладання рівнодійної (точка С) зміщена від центра зведення системи (точки О) на відрізок ОС, який визначається за формулою

, (а)

де – момент пари сил, отриманий при зведенні системи сил до центра О (рис. 42); – отримана рівнодійна. Оскільки , то відношення (а) можна записати у вигляді

, (1.45)

Рис. 42

Рис. 43

Рис. 44

б ). Головний вектор і головний момент не є взаємно перпендикулярними  .

В цьому випадку відносно центра зведення О (рис. 45) маємо силу і пару сил з моментом . До того ж вектор моменту пари утворює деякий кут з вектором сили . Це найбільш загальний випадок зведення довільної системи сил до заданого центра.

Рис. 45

Рис. 46

Подальше спрощення отриманої системи сил можна провести в двох напрямах. Її можна звести до двох мимобіжних сил або звести до силового гвинта (динами).

Силовим гвинтом (динамою) називається система сил, яка складається з пари сил і сили, яка перпендикулярна до площини дії пари (рис. 46).

Тут ми розглянемо зведення системи сил до силового гвинта. Для цього момент отриманої пари сил (рис. 45) розкладемо на дві складові (рис. 47, а)

.

Величини цих складових

; ,

і їх напрями: . Вектор моменту зобразимо парою сил , причому візьмемо сили пари рівними за ве-личиною силі і розмістимо цю пару так, щоб одна з цих сил (наприклад, ), була прикладена в точці О і напрямлена протилежно силі (рис. 47, б). Друга сила пари буде прикладена в точці А, яка лежить на перпендикулярі, поставленому в точці О до площини, що проходить через і на відстані

.

Рис. 47

Дві сили і , які прикладені в точці О, взаємно зрівноважуються і їх можна виключити. Залишається сила , прикладена в точці А і пара сил з моментом (рис. 47, в). Оскільки момент пари сил є вільним вектором, то перенесемо його в точку А і зобразимо його парою сил , площина дії якої перпендикулярна моменту , а значить і силі , тобто отримали динаму (рис. 47, г)

Пряма, по якій діє сила динами, називається централь-ною віссю системи.

Точки центральної осі системи характеризуються тим, що коли довільну систему сил звести до будь-якої точки центральної осі системи, то отримаємо силу, геометрично рівну головному вектору даної системи і напрямлену вздовж центральної осі, та пару сил, момент якої також напрямлений вздовж центральної осі. Можна легко довести (додаток 5), що момент пари динами дорівнює найменшому значенню головного моменту системи.

Складемо тепер таблицю всіх можливих випадків зведення довільної системи сил до канонічного вигляду.

№	Значення			Канонічний вигляд (випадок зведення)
	головного вектора	головного моменту	їх скалярного добутку
1				Система сил еквівалентна нулеві (є зрівноваженою)
2				Пара сил
3				Рівнодійна, яка прикладена в точці зведення
а)				Рівнодійна, яка зміщена від центра зведення
б)				Динама або дві мимобіжні сили

Розглянемо тепер частковий випадок – плоску систему сил. Площину, в якій знаходяться сили, позначимо (рис. 48). Геометрично додавши всі сили системи, знаходимо її головний вектор , який, очевидно, буде знаходитись в площині дії сил

.

Рис. 48

Вектор моменту кожної сили заданої системи відносно будь-якої точки О площини дії сил буде перпендикулярним до цієї площини, тобто вони утворюють систему паралельних векторів. Тому можна сказати, що

головний момент плоскої системи сил відносно довільної точки площини дії сил дорівнює сумі алгебраїчних моментів всіх сил системи відносно даної точки

. (1.46)

Напрям його перпендикулярний до площини дії сили, отже, , тобто скалярний добуток головного вектора на головний момент плоскої системи сил завжди дорівнює нулеві: . Це означає, що плоска система сил може мати тільки три випадки зведення – звестись до нуля, тобто бути зрівноваженою; до пари сил; до рівнодійної. Плоска система сил не може звестись до динами.