§ 49.4 Складання обертань навколо паралельних осей

Прикладом одночасного обертання тіла навколо двох паралельних осей є рух зубчастого колеса 2, котре перебуває у зчепленні з нерухомим колесом 1 і приводиться в рух кривошипом (рис. 151). Аналіз руху колеса 2 показує, що воно одночасно здійснює два обертання: обертається разом з кривошипом навколо осі з кутовою швидкістю , а щоб здійснювати цей рух, то воно ще обертається навколо осі з деякою кутовою швидкістю . Осі і перпендикулярні до площин коліс, тобто вони є паралельними.

При складанні обертань навколо паралельних осей можуть бути такі випадки: а) обертання напрямлені в один бік; б) обертання напрямлені в протилежні боки і здійснюються з різними за величиною кутовими швидкостями; в) обертання напрямлені в протилежні боки і здійснюється з однаковими за величиною кутовими швидкостями.

Рис. 151

Розглянемо окремо кожний з цих випадків.

а) Обертання напрямлені в один бік

Нехай тверде тіло обертається навколо осі з кутовою швидкістю , а сама вісь обертається навколо паралельної їй осі з кутовою швидкістю (рис. 152). Обертання навколо осей і , як видно з цього рисунка, напрямлені в один бік. Для визначення результуючого руху твердого тіла , яке при заданій постановці задачі одночасно обертається навколо двох паралельних осей (осі і ), з довільної точки осі перпендикулярно до осей обертання проведемо відрізок прямої . На цьому відрізку беремо точку , яка ділить даний відрізок у співвідношенні

(а)

і визначимо її швидкість. Точка здійснює складний рух, бо належить тілу , яке здійснює складний рух, отже її швидкість можна визначити за теоремою про складання швидкостей

. (б)

Якщо обертання тіла навколо осі прийняти за переносний рух, а навколо осі – за відносний, то матимемо:

Рис. 152

(в)

Вектори даних швидкостей напрямлені в боки відповідних обертань і, як видно з рис. 152, вони є протилежними, а це означає, що векторна сума (б) перетворюється в алгебраїчну різницю

і, враховуючи (в) і (а), отримаємо

.

Абсолютна швидкість точки в даний момент часу дорівнює нулеві.

Якщо через точку паралельно заданим осям і провести вісь і врахувати, що на осі точку вибрано довільно (отже, і точка є довільною точкою осі ), то можна зробити такий висновок: вісь є геометричним місцем точок, абсолютні швидкості яких в даний момент часу дорівнюють нулеві, тобто вона є миттєвою віссю абсолютного обертання тіла, а це означає, що результуючий рух твердого тіла є обертальним.

Таким чином,

при складанні обертальних рухів твердого тіла на-вколо двох паралельних осей у випадку, коли обертання напрямлені в один бік, результуючий (абсолютний) рух є обертальним в той самий бік навколо миттєвої осі обертання, яка розміщена в площині, що проходить через осі обертань складових рухів, паралельно до них, і ділить відстань між ними внутрішнім чином на відрізки, котрі обернено пропорційні кутовим швидкостям складових рухів

. (2.104)

Позначимо кутову швидкість результуючого (абсолютного) обертання і обчислимо її. Для цього за теоремою про складання швидкостей знайдемо швидкість точки тіла (рис. 152)

. (г)

В записаній рівності:

, бо абсолютний рух, як було тільки що доведено, є обертальним навколо миттєвої осі обертання ;

, бо переносний рух, як було прийнято вище, є обертальним навколо осі (рис. 152);

, точка знаходиться на осі відносного обертання .

Враховуючи це, рівність (г) набуває вигляду

.

Звідси матимемо

.

Якщо замість відношення підставити його значення з (а), то остаточно отримуємо

,

тобто:

. (2.105)

Кутова швидкість абсолютного обертання дорівнює сумі кутових швидкостей складових рухів.

б) Обертання напрямлені в протилежні боки і здійсню-ються з різними за величиною кутовими швидкостями

Нехай тверде тіло обертається навколо осі з кутовою швидкістю , а сама вісь обертається навколо паралельної до неї осі з кутовою швидкістю (рис. 153). Обертання навколо осей і , як видно з цього рисунка, напрямлені в протилежні боки. Припустимо, що , і нехай .

Рис. 153

Для визначення результуючого руху твердого тіла , яке при заданій постановці задачі одночасно обертається нав-коло двох паралельних осей в протилежні боки, як і в попередньому випадку, з довільної точки осі перпендикулярно до осей обертання проведемо відрізок . На продовженні цього відрізка (продовження проводимо за вісь, навколо якої тіло обертається з більшою кутовою швидкістю; в даному випадку це вісь ) беремо точку , положення якої визначається співвідношенням

, (а)

і за теоремою про складання швидкостей визначимо її швидкість

. (б)

Якщо обертання тіла навколо осі прийняти за переносний рух, а навколо осі – за відносний, то матимемо

(в)

Вектори і напрямлені в боки відповідних обертань, як видно з рис. 153, вони є протилежними, а це означає, що векторна сума (б) перетворюється в алгебраїчну різницю

,

і, враховуючи (в) і (а), отримаємо

,

абсолютна швидкість точки в даний момент часу дорівнює нулеві.

Якщо через точку паралельно заданим осям і провести вісь і врахувати, що на осі точку вибрано довільно (отже, і точка є довільною точкою осі ), то можна зробити такий висновок: вісь є геометричним місцем точок, абсолютні швидкості яких в даний момент часу дорівнюють нулеві, тобто вона є миттєвою віссю абсолютного обертання, а це означає, що результуючий рух твердого тіла є обертальним.

Таким чином,

при складанні обертальних рухів твердого тіла на-вколо двох паралельних осей у випадку, коли обертання напрямлені в протилежні боки і здійснюються з різними за величиною кутовими швидкостями, результуючий (абсолютний) рух є обертальним в бік більшої кутової швидкості навколо осі обертання, яка розміщена в площині, що проходить через осі обертань складових рухів, паралельна до них і ділить відстань між ними зовнішнім чином на відрізки, котрі обернено пропорційні кутовим швидкостям складових рухів

. (2.106)

Позначимо кутову швидкість результуючого обертання і обчислимо її. Для цього за теоремою про складання швидкостей знайдемо швидкість точки тіла (рис. 153)

. (г)

Оскільки переносний, відносний і абсолютний рухи твердого тіла є обертальними, то:

, адже в абсолютному русі тіло в даний момент часу обертається навколо осі ;

– за переносний рух прийнято обертання навколо осі ;

, точка знаходиться на відносній осі обертання.

Враховуючи це, рівняння (г) набуває вигляду

.

Звідси матимемо

.

Якщо замість відношення підставити його значення з (а), то отримаємо

,

тобто:

. (2.107)

Кутова швидкість абсолютного обертання дорівнює різниці кутових швидкостей складових рухів.

Зауважимо, що при визначенні кутової швидкості абсолютного обертання за формулою (2.107) від більшої кутової швидкості віднімається менша, а це означає, що результуюча кутова швидкість як вектор буде напрямлена в бік більшої кутової швидкості.

в) Обертання напрямлені в протилежні боки і здій-снюються з однаковими за величиною кутовими швидкостями (пара обертань)

Розглянемо тепер складний рух твердого тіла, який складається з двох обертань навколо паралельних осей і (рис. 154). Нехай обертання, як і в попередньому випадку, напрямлені в протилежні боки, але здійснюються з однаковими за величиною кутовими швидкостями, а це означає, що вектори кутових швидкостей задовольняють умову . Така сукупність рухів часто називається парою обертання (кінематичною парою).

Отже,

пара обертань – це сукупність двох обертань твердого тіла навколо паралельних осей з рівними за величиною, але протилежними за напрямом кутовими швидкостями.

Для визначення результуючого руху за теоремою про складання швидкостей обчислимо швидкість довільної точки тіла, положення якої відносно точок і осей обертання визначається радіусами-векторами і (рис. 154).

Рис. 154

, (а)

Оскільки переносний і відносний рухи є обертальними відповідно з кутовими швидкостями і , то вектори переносної і відносної швидкостей можна обчислювати за формулою Ейлера

, . (б)

Підставивши (б) і рівність (а), отримаємо

.

Якщо врахувати, що , то матимемо

.

Оскільки (див. рис. 154), то

. (2.108)

Оскільки швидкість точки не залежить від її положення (вектори і не з’єднані з точкою ), то швидкості всіх точок тіла в даний момент часу геометрично рівні між собою, а це означає, що тіло здійснює поступальний рух.

Таким чином,

при складанні двох обертань твердого тіла навколо паралельних осей з рівними за величиною, але протилежними за напрямом кутовими швидкостями результуючий рух є поступальним,

тобто пара обертань еквівалентна миттєвому поступальному руху з швидкістю, що дорівнює моменту пари обертань. І дійсно, за аналогією зі статикою (див. теорію пари сил §16), векторний добуток можна назвати моментом пари обертань, тобто:

. (2.109)

З рівності (2.109) випливає:

1) швидкість поступального руху перпендикулярна до площини пари і напрямлена так, що спостерігач з кінця бачить вектори пари , що намагаються повернути площину проти руху годинникової стрілки (рис. 155);

Рис. 155

2) величина цієї швидкості визначається формулою

, (2.110)

в якій – плече пари обертання.

Прикладом пари обертань є рух педалі велосипеда (рис. 156). Педаль велосипеда бере участь у двох обертаннях протилежного напряму: разом з кривошипом обертається навколо осі обертання великої зубчастої зірочки і одночасно обертається навколо власної осі (пальця кривошипа). Ці обертання здійснюються з однаковими за модулем кутовими швидкостями ( ), адже за час одного оберту кривошипа педаль відносно кривошипа зробить також один оберт, тільки в протилежному напрямі. В результаті складання цих обертань отримується поступальний рух, підтвердженням цього є те, що педаль за час руху велосипеда нахилена під певним, до того ж сталим, кутом до полотна дороги, а це означає, що всяка пряма, проведена в педалі, залишається собі паралельною, що є характерним для поступального руху твердого тіла.

Рис. 156

Резюме. При складанні обертальних рухів як навколо осей, що перетинаються, так і навколо паралельних осей результуючий рух в кожний момент часу переважно є обертальним; тільки для пари обертань результуючий рух є поступальним.

На підставі доведеного можна розв’язувати такі задачі:

1. Складний рух твердого тіла, який складається з обертальних рухів навколо осей, що перетинаються в одній точці, або навколо паралельних осей, в кожний момент часу звести до одного (обертального або поступального) руху, тобто звести до канонічного вигляду.

2. Кожний обертальний рух твердого тіла розкласти на обертань навколо осей, що перетинаються в одній точці, або навколо паралельних осей.

3. Кожний поступальний рух твердого тіла замінити парою миттєвих обертань. До того ж існує нескінченна кількість таких перетворень, але кожне з них повинно задовольняти рівність (2.109).