§ 22 Інваріанти довільної системи сил

Величини, які не змінюються при певних перетвореннях, називаються інваріантами відносно даних перетво-рень.

Інваріантами довільної системи сил називаються величин, які не залежать від вибору центра зведення. Для встановлення таких величин розглянемо довільну систему сил і виберемо дві довільні точки О₁ і О₂ (рис. 49, а). Звівши систему сил до центра О₁, отримаємо (рис. 49, б)

; (а)

. (б)

Якщо задану систему сил звести до центра О₂, то в даній точці отримаємо (рис. 49, б)

; (в)

. (г)

Рис. 49

В рівностях (а) і (в) справа знаходиться геометрична сума однієї і тієї ж системи сил, отже

Головний вектор системи сил не залежить від центра зведення, тобто є інваріантом.

Якщо порівняти рівності (б) і (г), то (враховуючи, що ) можна стверджувати, що головний момент системи сил взагалі залежить від центра зведення. Встановимо цю залежність. Враховуючи (див. рис. 49, а), що

,

отримаємо

Оскільки (див. рівність б)

,

,

то кінцево отримуємо формулу, яка відображає залежність головного моменту системи від центра зведення

. (1.47)

При зміні центра зведення головний момент системи зменшується на момент головного вектора, що прикладений в новому центрі зведення відносно старого центра.

Зауваження. В деяких підручниках у формулі (1.47) стоїть знак плюс, це пояснюється тим, що їх автори розглядають момент головного вектора, що прикладений в старому центрі зведення відносно нового центра.

Скалярно помноживши векторну рівність (1.47) на головний вектор

і, враховуючи, що:

а) змішаний добуток бо в ньому присутні два однакових співмножники ;

б) головний вектор є інваріантом довільної системи сил, тобто , отримаємо

. (1.48)

Скалярний добуток головного вектора на головний момент не залежить від центра зведення, тобто є інваріантом довільної системи сил.

Таким чином, для довільної системи сил є два інваріанти:

1. Векторний інваріант – це головний вектор довільної системи сил.

2. Скалярний інваріант – це скалярний добуток головного вектора системи сил на її головний момент.

За допомогою формули (1.47) можна провести загальне доведення теореми Варіньйона, яка була доведена для системи збіжних сил. Для цього припустимо, що в точці О₂ система зводиться до рівнодійної. Тоді головний момент системи сил відносно точки О₂ дорівнює нулеві , і рівність (1.47) набуває вигляду

або

.

Враховуючи, що , отримуємо

. (д)

З другого боку, момент рівнодійної, яка отримується в точці О₂ відносно точки О₁, визначається за формулою

.

Оскільки (рівнодійна геометрично рівна головному вектору системи), то отриману рівність можна записати так:

. (г)

Враховуючи рівність (д), кінцево отримуємо

.

Отже, теорема Варіньйона доведена для довільної системи сил, яка зводиться до рівнодійної.