- •Рецензенти:
- •76019, Івано-Франківськ, вул. Карпатська, 15 Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу
- •§ 2 Основні поняття теоретичної механіки
- •1 Статика твердого тіла
- •§ 3 Предмет статики твердого тіла
- •§ 4 Основні поняття статики
- •§ 5 В’язі та їх реакції
- •§ 6 Вихідні положення (аксіоми) статики
- •1. Аксіома зрівноваження двох сил.
- •2. Аксіома приєднання і виключення зрівноваженої системи сил.
- •3. Аксіома дії і протидії (ііі-ій закон Ньютона).
- •4. Аксіома накладання додаткових в’язей.
- •5. Аксіома паралелограма.
- •1.1 Система збіжних сил
- •§ 7 Зведення системи збіжних сил до канонічного вигляду
- •1. Геометричний спосіб визначення рівнодійної.
- •2. Аналітичний спосіб визначення рівнодійної.
- •§ 8 Умови і рівняння рівноваги системи збіжних сил
- •1. Геометрична умова рівноваги.
- •2. Аналітичні умови рівноваги. Рівняння рівноваги.
- •§ 9 Алгоритм розв’язання задач на рівновагу
- •Питання для самоконтролю
- •1.2 Теорія моменту сил
- •§ 10 Момент сили відносно точки
- •§ 11 Момент сили відносно осі
- •§ 12 Залежність між моментом сили відносно точки і моментом сили відносно осі, яка проходить через цю точку
- •§ 13 Аналітичне визначення моменту сили відносно довільної точки
- •§ 14 Теорема Варіньйона
- •Питання для самоконтролю
- •1.3 Довільна система сил
- •§ 15 Головний вектор і головний момент системи сил
- •1. Геометричний спосіб
- •2. Аналітичний спосіб
- •§ 16 Пара сил і її момент
- •§ 17 Еквівалентність пар сил
- •§ 18 Додавання пар сил
- •§ 19 Лема про паралельний перенос сили
- •§ 20 Зведення довільної системи сил до заданого центра
- •§ 21 Окремі випадки зведення довільної системи сил
- •§ 22 Інваріанти довільної системи сил
- •§ 23 Аналітичні умови рівноваги просторової системи сил
- •§ 24 Аналітичні умови рівноваги плоскої системи сил
- •§ 25 Статично означені і статично неозначені задачі
- •§ 26 Рівновага системи тіл
- •Питання для самоконтролю
- •1.4 Деякі спеціальні питання статики
- •§ 27 Тертя ковзання
- •§ 28 Конус тертя. Область рівноваги
- •§ 29 Тертя кочення
- •§ 30 Поняття про ферми
- •Питання для самоконтролю
- •1.5 Система паралельних сил. Центр ваги твердого тіла
- •§ 31 Зведення системи паралельних сил до канонічного вигляду
- •§ 32 Центр ваги твердого тіла
- •1. Центр ваги однорідного тіла (центр ваги об’єму)
- •2. Центр ваги площі однорідного плоского тіла (центр ваги площі)
- •3. Центр ваги однорідного лінійного тіла (центр ваги лінії)
- •§ 33 Центр ваги деяких простих геометричних фігур
- •§ 34 Способи визначення положення центра ваги тіла
- •Питання для самоконтролю
- •2 Кінематика
- •§ 35 Предмет кінематики
- •2.1 Кінематика точки
- •§ 36 Векторний спосіб вивчення руху точки
- •§ 37 Координатний спосіб вивчення руху точки
- •§ 38 Швидкість і пришвидшення точки в полярних координатах
- •§ 39 Натуральна система координат
- •§ 40 Натуральний спосіб вивчення руху точки
- •§ 41 Класифікація руху точки за її пришвидшеннями
- •Питання для самоконтролю
- •2.2 Кінематика твердого тіла
- •§ 42 Поступальний рух твердого тіла
- •§ 43 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.1 Рівняння обертання тіла навколо нерухомої осі
- •§ 43.2 Рівняння рівномірного і рівнозмінного обертання
- •§ 43.3 Швидкість і пришвидшення точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі
- •§ 43.4 Вектор кутової швидкості
- •§ 43.5 Векторні вирази швидкості, доцентрового і обертального пришвидшень точки тіла при обертальному русі
- •Питання для самоконтролю
- •2.1 Кінематика складного руху точки
- •§ 44 Складний рух точки
- •§ 44.1 Основні поняття і визначення
- •§ 44.2 Теорема про складання швидкостей
- •§ 44.3 Теорема про складання пришвидшень (Теорема Коріоліса)
- •§ 44.4 Коріолісове пришвидшення і його визначення
- •Питання для самоконтролю
- •2.4 Кінематика складного руху твердого тіла
- •§ 45 Складний рух твердого тіла
- •§ 46 Плоскопаралельний (плоский) рух твердого тіла
- •§ 46.1 Основні поняття і визначення
- •§ 46.2 Рівняння руху плоскої фігури
- •§ 46.3 Рівняння руху точки плоскої фігури
- •§ 46.4 Теорема про швидкості точок плоскої фігури та її наслідок
- •§ 46.5 Миттєвий центр швидкостей
- •§ 46.6 Способи визначення положення миттєвого центра швидкостей
- •§ 46.7 Теорема про пришвидшення точок плоскої фігури
- •§ 46.8 Миттєвий центр пришвидшень
- •Питання для самоконтролю
- •§ 47 Обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.1 Кути Ейлера. Рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої точки
- •§ 47.2 Теорема Ейлера-Даламбера
- •§ 47.3 Кутова швидкість і кутове пришвидшення тіла, що обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.4 Швидкість точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •§ 47.5 Пришвидшення точок твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої точки
- •Питання для самоконтролю
- •§ 48 Рух вільного твердого тіла
- •Питання для самоконтролю
- •§ 49 Синтез рухів
- •§ 49.1 Складання поступальних рухів твердого тіла
- •§ 49.2 Складання поступального і обертального рухів твердого тіла
- •§ 49.3 Складання обертань навколо осей, що перетинаються
- •§ 49.4 Складання обертань навколо паралельних осей
- •Питання для самоконтролю
- •§ 50 Аналогії між кінематикою і статикою
- •1 Проекція вектора на площину
- •2 Проекція вектора на вісь
- •3 Приклади розв’язування задач на рівновагу тіла
- •4 Додавання двох паралельних сил
- •5 Доведення теореми про еквівалентність пар сил
- •6 Найменше значення головного моменту системи сил
- •Список використаної літератури, деяких підручників і навчальних посібників з теоретичної механіки
- •Предметний покажчик
§ 18 Додавання пар сил
Теорема.
Дія пари сил, які лежать в площинах, що перетина-ються, еквівалентні одній парі сил, момент якої до-рівнює геометричній сумі моментів заданих пар сил.
Доведення. Припустимо, що задано дві пари сил і з моментами відповідно і . Пари сил лежать в площинах і , що перетинаються. – лінія перетину цих площин (рис. 36, а).
На основі теорем про еквівалентність пар приведемо задані пари сил до одного плеча (рис. 36, б). В результаті такого приведення в точках і буде прикладено по дві сили:
Рис. 36
в точці — і , в точці — і . Геометрично складемо ці сили
; .
Оскільки і розглядаються як сили, що утворюють пари сил, то і . Отже, отримані сили утворюють пару сил. Таким чином, дві пари сил замінено однією парою, яка, очевидно, є еквівалентною заданим парам, бо всі перетворення, в результаті яких вона отримана, пророблені на основі теорем про еквівалентність пар і аксіоми паралелограма сил.
Визначимо момент отриманої пари за формулою
.
Отже,
момент еквівалентної пари дорівнює геометричній сумі моментів заданих пар
. (1.37)
Розглянемо систему пар сил з моментами відповідно . Склавши перші дві пари, отримаємо пару сил, еквівалентну їм, з моментом
.
Одержану пару сил складемо з третьою і отримаємо пару сил, яка вже буде еквівалентна трьом парам сил. Її момент
.
Продовживши додавання і виконавши складання, отри-маємо одну пару сил з моментом
,
яка буде еквівалентною заданій системі пар сил.
Отже,
дію на тверде тіло системи пар сил, довільно розміщених в просторі, можна замінити дією однієї пари сил, момент якої дорівнює геометричній сумі моментів всіх пар системи
. (1.38)
Іншими словами, канонічним виглядом системи пар сил є пара сил з моментом , який визначається за формулою (1.38).
Якщо момент результуючої пари буде дорівнювати нулеві, то це означає, що дія системи пар сил на тверде тіло рівна нулеві, тобто система пар сил є зрівноваженою.
Таким чином,
система пар сил, які розміщені довільно в просторі, знаходиться в рівновазі, якщо геометрична сума мо-ментів всіх пар, що утворюють систему, дорівнює нулеві
. (1.39)
Рівність (1.39) є необхідною і достатньою умовою рівноваги системи пар сил.
Спроектувавши векторну рівність (1.39) на координатні осі і пам’ятаючи, що проекція векторної суми на вісь дорівнює алгебраїчній сумі відповідних проекцій, отримаємо
; ; . (1.40)
Це аналітичні умови рівноваги системи пар сил, які формулюються так:
для рівноваги системи пар сил, які довільно розміщені в просторі, необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми проекцій її моментів на три координатні осі відповідно дорівнювали нулеві.
В частковому випадку, коли системи пар сил розміщені в одній площині, а це означає, що їх вектори моментів паралельні між собою, рівності (1.38) і (1.39) набувають такого значення:
момент пари сил, яка еквівалентна системі пар, розміщених в одній площині, дорівнює сумі алгебраїчних моментів складових пар
; (1.41)
система пар сил, розміщених в одній площині, знаходиться в рівновазі, якщо сума їх алгебраїчних мо-ментів дорівнює нулеві
. (1.42)