Введемо позначки

Тоді

, (9.11)

підставляючи рівняння (9.11), з якого можна визначити швидкість V,в рівняння (9.10), отримаємо

, (9.12)

звідки

(9.13)

Таким чином, за допомогою формул (9.12), (9.13) ми можемо перерахувати горизонтальний перетин поля U(х,z,t)на рівень нижче, а вертикальне січення наХв бік. Одночасно за допомогою формули (9.11) визначаємо розподіл швидкості пружних хвиль між лініями перерахунку поля.

Організуючі вкладені цикли по t,х,z, здійснимо процедуру міграції і отримаємо глибинний розріз, обмежений горизонтальним та вертикальним профілями, та розподіл швидкості по сітціХ·Zна цій площині.

Таким чином, процедура коректної міграції вирішує обернену задачу кінематичної сейсміки за даними, що зареєстровані на співпряжених вертикальному та горизонтальному профілях.

10 Практичні роботи з теорії пружних

ХВИЛЬ

10.1 Дослідження напруженого стану та деформацій

гірської породи при збудженні пружних хвиль

Мета та завдання роботи

Метою лабораторної роботи є дослідження зв`язку між напруженнями та деформаціями, які утворюються в гірських породах при збудженні пружних коливань тампером у процесі сейсморозвідувальних робіт на малі глибини.

Завданням роботи є вивчення узагальненого закону Гука та його застосування в сейсморозвідці; визначення пружних модулів гірських порід через швидкості поширення пружних хвиль в середовищі, оцінка величини деформацій, що виникають при заданому розподілі сил.

Внаслідок виконання роботи студент повинен:

- отримати знання з теорії пружності та її застосування в сейсмічному методі розвідки;

- вміти визначити напруження та деформації, що виникають в пружному тілі при заданому розподілі сил;

- отримати навички роботи з обчислювальною технікою.

Основні теоретичні положення

Між напруженим та деформованим станами, що виникають в пружному тілі під дією прикладених сил, існує певний зв`язок. Найбільш простим способом він визначається з дослідів поздовжнього розтягу пружного стержня. Такі досліди вперше були проведенні Гуком. У подальшому отримані закономірності були узагальнені та встановлений математичний зв'язок між компонентами тензора напружень та тензора деформацій. Узагальнений закон Гука має наступний вигляд

, (10.1)

де  - компонента тензора напружень, що прикладена до площини, яка перпендикулярна i-ій вісі координат, по напрямку j-ої вісі ( рисунок 10.1);  та  - пружні модулі (коефіцієнти Ламе); e_{i j} - компонента тензора деформації, яка означає відносне подовження тіла вздовж i-тої вісі координат при i=j або ж зміну кута між гранями тіла, що орієнтовані вздовж i-ої та j-ої координатних осей, в процесі деформації при i  j;  - дилатація або відносна зміна об`єму пружного тіла

. (10.2)

Рисунок 10.1 - Просторове розташування компонент

тензора напружень

Пружні модулі Ламе можна визначити через щільність гірської породи  та швидкості розповсюдження пружних хвиль поздовжньої V_р та поперечної V_s поляризації

. (10.3)

Компоненти тензора напружень визначають шляхом ділення відповідних проекцій прикладеної сили на площу, до якої вона прикладена S (рисунок 10.2).

При цьому слід звернути увагу, що внутрішні напруження протидіють зовнішній силі, а для дотичних напружень справедлива рівність _{i j}=_{j i}. Для спрощення будемо вважати, що ущільнення гірської породи відбувається в вертикальному напрямку, тому _{x x}=_{y y}=0.





F_y

F_x

X

Y

F_z

Z

Рисунок 10.2 - Розподіл сил при ударі тампера

Порядок проведення роботи

1. Вивести робочі формули, що пов`язують компоненти тензора деформації з прикладеними до пружного тіла силами та виникаючими при цьому напруженнями.

2. Розрахувати (з допомогою ЕКВМ, ПЕОМ) компоненти тензора деформації та дилатації об`єму гірської породи при збудженні пружних хвиль ударом тампера (молота) з площею бійка 0,04 м², якщо в момент удару розвинута сила F, а напрям удару по горизонтальній площині визначається кутами  і  (рисунок 10.2).

3. Номер варіанту n визначається номером студента по списку групи. Непарні номери досліджують деформацію глини з V_p=1750 м/с, V_s=500 м/с і =2,0 г/см³, а парні - деформацію пісково-глинистого ґрунту з V_p=1900 м/с, V_s=400 м/с і =1,9 г/см³. Решту параметрів визначають із співвідношень

(10.4)

Оформлення результатів роботи

1. На міліметровому папері зобразити у векторній формі силу, що діє на гірську породу в момент удару та компоненти викликаних нею напружень, вважаючи, що сила прикладена до горизонтальної площини. Вказати масштаб побудови. Щоб правильно побудувати кути в кабінетній та аксонометричній проекціях, відкладайте компоненти сили та напружень вздовж координатних осей в масштабах 1:1:0,5 та 1:1:1 відповідно.

2. Записати компоненти тензора напружень у вигляді матриці.

3. Представити компоненти тензора деформацій в матричній формі, враховуючи, що e _{k l} =e _{l k}.

4. Навести значення дилатації та зробити письмовий висновок про степінь деформації гірської породи при збудженні пружних хвиль.

Питання для самоперевірки

- Що таке напруження, чим воно викликане?

- Що таке деформація, які її різновиди Вам відомі?

- Що таке дилатація (фізичний зміст та математична форму-ла)?

- Як записати узагальнений закон Гука?

- Які пружні модулі Ви знаєте?

- Чим відрізняються нормальні та дотичні напруження, як вони індексуються?

- Який фізичний зміст компонент тензора деформацій?