дедуктивный характер их обоснования.

Итак, существенным средством изучения геометрических фигур и их свойств является рисунок. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. использование ри­сунков имеет ту особенность, что они снабжены «подстрочными» указаниями. Например, для разъяснения смысла понятия «неразвернутый угол СОВ состав­ляет часть развернутого угла АОВ» используется рисунок с соответствующим замечанием. Слово «определение» используется только в конце курса геомет­рии седьмого класса, однако многие понятия, изучаемые в первой главе, опре­деляются. Большинство определений имеет структуру «через ближайший род и иидовые отличия». К ним относятся: определения дополнительных лучей, раз­вернутого угла, равенства геометрических фигур, середины отрезка, биссектри­сы угла, градусной меры угла, прямого, острого, тупого углов, смежных углов, вертикальных углов.

Кроме этого используются конструктивные и описательные определения. К конструктивным относятся определения отрезка и угла.

К описательным - определения понятий: прямая проходит через точки, пересекающиеся прямые, луч, внутренние и внешние области угла, отрезок меньше другого отрезка и т.д.

Вид определения должен учитываться учителем при опросе учащихся.

I 'ели определение понятия описательное, то нельзя требовать от учащихся за­учи мания определения и ставить им вопрос: «Что называется?». В этом случае следует предложить им объяснить, например, что такое луч, что означает «от- ргчок АС меньше отрезка АВ» и т.д.

Важным средством целенаправленного формирования геометрических понятий по учебнику JI. С. Атанасяна и др., в частности на первых уроках гео­метрии, являются практические задания, позволяющие усваивать геометриче- гмн- факты в процессе оперирования моделями различных геометрических фигур.

Многие упражнения этого учебника ориентированы на мотивацию введе- HI1 и понятий и утверждений, раскрытию их содержания, целенаправленное формирование умений применять изучаемые понятия и факты в различных си- гуициях. Все это позволяет учителю организовать учебную деятельность школьников так, что сами учащиеся принимают активное участие в «открытии» и обосновании геометрических фактов.

Осуществление такой учебной деятельности в рамках учебника А. В. По­горел ова намного труднее. Обусловлено это трактовкой понятий, способами но касательства, ограниченной ролью упражнений.

3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж

Эта глава включает следующий учебный материал: «О чем и зачем гео- м*ч рин» (§ 1). «Отрезки» (§ 2). «Углы» (§ 3). «Треугольники» (§ 4). «Некоторые применения первых теорем о треугольниках» (§ 5). «Четырехугольники» (§ 6). Попроси, связанные с измерением величин отнесены во вторую главу учебника.

Многие положения методики изучения геометрии на первых уроках по N чгбиикам А. В. Погорелова и JI. С. Атанасяна и др. (широкое использование опыт учащихся, систематизация и обобщение знаний, полученных ими в 5-6

167

классах, оперирование с моделями фигур как средство раскрытия содержания изучаемых понятий и фактов и т.д.) остаются справедливыми и при изучении геометрии по учебнику А. Д. Александрова и др. Следует отметить характерное для этого учебника широкое использование практической мотивации изучения геометрического материала, его связи с жизнью, техникой, практикой.

2. Методика формирования геометрических понятий

Рассмотрим особенности методики формирования геометрических поня­тий (не только на первых уроках геометрии).

Г. Фройденталь писал: «В школе математика должна рассматриваться не как завершенная наука, а как вид деятельности» («Математика как педагогиче­ская задача: Пособие для учителей. ~ М., 1982. - Ч. 1). Это значит, что в про­цессе обучения математике учитель должен использовать в разных ситуациях (при формировании математических понятий, обучении решению задач, дока­зательству теорем) деятельностный подход, сущность которого заключается в деятельностной природе знаний. (Более подробно он изучался нами в разделах общей методики математики.)

Рассмотрим реализацию этого подхода при формировании геометриче­ских понятий в основной школе.

Понятия, изучаемые в школьном курсе геометрии, составляют 2 группы: неопределяемые и определяемые. Большинство понятий, представленных в кур­се геометрии, определяются по способу «через ближайший род и видовые от­личия». Причем в разных учебниках геометрии используются иногда различ­ные определения одних и тех же понятий. Например, параллелограмм в разных пособиях трактуется как:

а) четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно па­раллельны;

б) пересечение двух полос с непараллельными краями;

в) четырёхугольник, имеющий центр симметрии и т.д.

Все эти определения неравноценны в том смысле, что они обладают раз­ной степенью наглядности. Учитывая важность образного компонента в про­цессе формирования понятия, следует заметить, что в школьном учебнике гео­метрии желательны такие определения, которые позволяют воображению легко конструировать образы определяемых объектов. С точки зрения этого требова­ния наиболее удачным является традиционное определение параллелограмма, как четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В целом, формирование геометрических понятий осуществляется по этапам.

I этап. Начинается процесс формирования понятия, как известно, с мо­тивации его введения. Сущность этого этапа заключается в возбуждении инте­реса к изучению понятия. Важным средством мотивации введения геометриче­ских понятий является выполнение упражнений, рассмотрение моделей фигур, в частности, готового рисунка. Приведем примеры.

1. Выполняется упражнение: ААВС - равнобедренный (АВ - ВС), BD - биссектриса угла В (рис. 53). Доказать, что A ABD = ACBD.

168

Внимание учащихся обращается на то, что отрезок BD соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Это дает возможность

ввести понятие медианы треугольника.

2. При изучении взаимного расположения прямой и окружности обращается внимание на то, что окруж- ность и прямая могут иметь только одну общую точку. Этот случай мотивирует введение понятия касательной к окружности.

3. Понятия треугольника, четырехугольника можно

ввести на основе рассмотрения предметов, имеющих та­кие. 1

кую форму,

4. При рассмотрении моделей различных фигур (куба, пирамиды и т.д.), а также окружающих предметов можно ввести понятия параллельных прямых, пересекающихся прямых.

Со многими геометрическими фигурами можно познакомить учащихся в процессе выполнения упражнений на построение этих фигур. Например, равно­бедренный треугольник появляется в результате упражнения на построение треугольника по трем сторонам, из которых две равны.

Мотивация введения отдельных понятий предусмотрена и в учебниках геометрии. В учебнике А. В. Погорелова широко используется готовый ри­сунок, в учебнике Л. С. Атанасяна и др. - практические задания, в учебнике А Д. Александрова и др. - практические ситуации.

Мотивацией изучения материала может служить необходимость расши- fH'um или углубления теории. Например, введение векторов вызывает различ­имо операции с ними. В каждом конкретном случае вопрос о мотивации введе­ния понятия решает учитель, и иногда этот этап может отсутствовать, напри­мер, при изучении понятий, мотивация введения которых сложна, либо поня- 1НЙ, с которыми ученики уже знакомы на уровне наглядных представлений, а тюке понятий, которым отводится второстепенная роль.

// этап. Выделение существенных свойств понятия, составляющих его ицределение (на них следует акцентировать внимание учащихся). Например, ижикомление с существенными свойствами понятия вертикальных углов мо- I г г быть осуществлено путем выполнения упражнения:

Постройте произвольный угол, отличный от развернутого. Продолжите tvM стороны за вершину угла. Охарактеризуйте образовавшиеся пары углов.

I \ результате построения образуется 4 пары смежных углов, известных уже пн щи моя, и две пары углов, стороны которых являются дополнительными луча­ми Гпким образом, выполняя это упражнение, учащиеся закрепляют понятие и* ж и I.]к углов и знакомятся с существенными свойствами вертикальных углов. С пнмощыо упражнений на построение объектов, удовлетворяющих определенным ‘ ииПг там, можно осуществлять ознакомление учащихся со многими геометри-

чт ними ПОНЯТИЯМИ.

И 5- 6 классах выделение существенных свойств понятий можно осуще- « ! ним и, е помощью упражнений на конструирование фигур, выполняя которые умниц юс и сами выделяют эти свойства понятия. Например, ознакомление с су-

169

щественными свойствами биссектрисы угла может быть осуществлено в про­цессе выполнения упражнений на перегибание листа бумаги так, чтобы его стороны совпали.

3. этап. На этом этапе происходит синтез выделенных существенных свойств и формулировка определения понятия.

4. этап - выяснение понимания каждого слова в определении. На этом этапе не следует пока требовать запоминания определения. Важно выявить, по­нятен ли учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. Непони­мание смысла отдельных слов затрудняет усвоение логической структуры опреде­ления понятия. Понимание материала - важнейшее условие его запоминания.

5. этап - усвоение логической структуры определения понятия. Оно дос­тигается с помощью специальных упражнений. Один из типов таких упражне­ний составляют упражнения на распознавание объектов, принадлежащих поня­тию (как составляются такие упражнения, вы знакомились в курсе общей мето­дики математики).

При формировании геометрических понятий удобно для упражнений на распознавание объектов, принадлежащих изучаемому понятию, использовать готовые рисунки. Приведем пример.

1. Какие из углов, отмеченных на рис. 54, являются смежными?

При распознавании смежных углов следует использовать различные си­туации изображения их на рисунке. Можно в упражнения на распознавание включать требования: изменить условие так, чтобы указанный объект принад­лежал понятию.

Кроме упражнений на готовых чертежах, следует использовать задания с неопределенным ответом. Например:

2. Являются ли два угла смежными, <зсли у них одна сторона общая.

Однозначный ответ на этот вопрсс отсутствует, так как ничего не сказано

о двух других сторонах этих углов.

Для усвоения определения понятия, кроме действия распознавания, ис­пользуется действие отыскания следствий. Для овладения этим действием ре­комендуются упражнения на отыскание свойств, которыми обладает объект, принадлежащий понятию. Приедем примеры.

2

2

б)

в)

2

Рис. 54

170