чсиия функции в средней школе:

1. «оперативное» определение, сформулированное более 200 лет назад Л. Эйлером и отождествляющее функцию с той формулой, которая указывает, какие действия надо произвести над значениями независимых переменных, чтобы получить соответствующие значения функции;

2. графическое, которое для функции одного аргумента сводится к указа­нию зависимости между абсциссой и ординатой точки, движущейся по совер­шенно произвольной кривой, и которое в XVIII в. считалось более общим, чем оперативное;

3. табличное, которое для случая функции одного аргумента формули­руется так: «Если каждому элементу х множества М поставлен в соответствие некоторый элемент у множества N, то говорят, что на множестве М задана функция, и пишут у = f(x)». При этом отдельные элементы х называют значе­ниями аргумента, а элементы^ - значениями функции.

С точки зрения Ф. Клейна, всякое научное знание не может быть усвоено школьниками без обращения к наглядности. Поэтому трактовка понятия функ­ции с помощью геометрических образов является, по его мнению, наиболее це­лесообразной в школьном обучении. «Понятие функции в геометрической форме должно быть вообще душой школьного математического образования», - писал он [6, с. 112].

Академик С. Н. Бернштейн в своем докладе «Понятие функции в средней школе», сделанном в 1913 году на II Всероссийском съезде преподавателей ма­тематики, решительно высказался за выставление на первый план оперативное определение функции, хотя и признавал, что табличное определение является более общим, чем оперативное, не говоря уже о графическом определении.

Рассмотрим подробнее, как изменялось понятие функции в математике и и обучении математике.

2. Различные трактовки понятия функции

Функциональная линия школьного курса математики является в настоя­щее время одной из ведущих, определяющих изучение многих тем и разделов курсов алгебры и начал анализа. Особенность материала этой линии состоит в том, что с его помощью можно устанавливать разнообразные связи в обучении.

В процессе эволюции математики понятие функции (и соответствующее ему определение или описание) подвергалось определенным изменениям. Как уже указывалось выше, долгое время Л. Эйлер под функцией понимал всякое аналитическое выражение. Это определение не только искусственно ограничи­вало объем понятия функции (она отождествлялась только с одним из способов её задания), но и приводило к различным противоречиям. В частности, не до­пускалось задание функции двумя аналитическими выражениями. Например, функция вида

fsinx, еслих< 0,

У ~ \

[lg х, если х > 0,

127

не имела права на существование.

Со времен Н. И. Лобачевского и JI. Дирихле в математике укрепилось по­вое представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Такой подход долгое время сохранялся и в школьном курсе матема­тики. Так в учебнике «Алгебра - 7» Ю. Н. Макарычева и др., под ред. С. А. Теляковского (М., 1989) дано такое определение функции: «Зависимость перс менной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х со­ответствует единственное значение >>». Это определение имеет ряд недостатков: во-первых, так как переменную рассматривают в учебнике как букву, вместо ко­торой можно подставлять числа, создается впечатление, будто функция - это зависимость между самими буквами у их; во-вторых* термин «зависимость» означает, что с изменением значений х обязаны меняться значения у, а как быть

к

в этом случае с функцией у = W. В-третьих, функцию у - — также нельзя под-

х

вести под указанное определение (не каждому х, а только х * О, соответствует единственное значение^).

Приведенное выше определение функции можно заменить следующим: «Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует единственное значение у». Допустимыми в алгебре считаются значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Отсюда следует, что функция должна задаваться только формулой, что значительно су­жает объем этого понятия.

В настоящее время существует несколько вариантов определения поня­тия функции. В частности, понятие функции может выступать как:

1. первичное (неопределяемое) математическое понятие;

2. отображение одного числового множества в другое;

3. особое отношение между элементами множеств;

4. некоторое соответствие между элементами множеств.

Иногда функцию определяют как правило (закон), по которому каждому элементу х из множества X ставится в соответствие строго один элемент у мно­жества Y. Недостатком этого определения является то обстоятельство, что функцией оказывается правило, а не множество, что неестественно, так как из­вестно, что функции можно складывать, умножать и выполнять с ними другие арифметические операции.

В школьном курсе математики использовались две наиболее резко разли­чающиеся методические трактовки понятия функции: генетическая и логиче­ская. При генетической трактовке исходными понятиями являются понятия: переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, фор­мула (выражающая одну переменную через комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Достоинства генетической трактовки понятия функции:

1. «динамический» характер понятия функциональной зависимости;

2. легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы.

Такая трактовка естественно согласуется с остальным содержанием курса

илгебры, так как большинство функций в нем выражаются аналитически или таблично.

Недостатки генетической трактовки понятия функции: переменная величина при таком подходе всегда неявно (или даже явно) пробегает непре­рывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается только с число- иыми функциями одного числового аргумента (определенными на числовых промежутках). В обучении же приходится постоянно выходить за эти пределы.

При логической трактовке функция выступает в виде отношения специ­ального вида между двумя множествами, и это отношение удовлетворяет усло­вию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции стано­вится вывод его из понятия отношения.

Логический подход вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики при >том обогащается. Помимо формул и таблиц функцию задают стрелками, пере­числением пар, используют не только числовой, но и геометрический материал; геометрическое преобразование при таком подходе становится возможным рас­сматривать как функцию.

Основные достоинства логической трактовки: обобщенность понятия функции и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных свя­зей в обучении математике.

Однако это общее понятие оказывается в дальнейшем связанным главным образом с числовыми функциями одного числового аргумента.

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнару­живает определенную избыточность.

Следует отметить, что различия в трактовках функции проявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия, В дальнейшем, при изуче­нии функциональной линии различия постепенно стираются, так как в курсах алгебры и начал анализа изучается не само понятие функции, а в основном кон­кретно заданные функции и классы функций, их приложения в задачах естест­вознания и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методи­ческих поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к поня­тию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода.

Формирование понятия функции предполагает выделение в обучении следующих компонентов этого понятия:

1. представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике;

2. представление о функции как о соответствии;

3. построение и использование графиков функций, исследование функций;

4. вычисление значений функций, определенных различными способами.

Связь между этими компонентами устанавливается с помощью специаль­ных упражнений.

129