5.3 Наслідки з рівняння Бернуллі

5.3.1 Швидкість витікання рідини через невеликий отвір

Н ехай у циліндричній посудині зроблено невеликий отвір, такий, що його площа поперечного перерізу значно менша площі перерізу в широкій частині. Треба визначити швидкість витікання рідини через такий отвір на відстані від поверхні рідини. Тут зручно записати рівняння Бернуллі через питому енергії рідини у двох перерізах – у широкій частині посудини, де рідина опускається зі швидкістю та в малому отворі, з якого рідина витікає з швидкістю :

(5.3.1)

Тиск рідини у верхньому перерізі відкритої поверхні рідини дорівнює атмосферному. Нехтуючи зміною атмосферного тиску у межах висоти посудини можна вважати, що , тоді рівняння 5.3.1 буде мати вигляд:

. (5.3.2)

З рівняння нерозривності струмини випливає, що

, (5.3.3)

і коли площа отвору у бічній поверхні посудини значно менша площі перерізу самої посудини, то швидкістю опускання рідині у посудині можна нехтувати у порівнянні зі швидкістю витікання рідини через малий отвір. Отже,

. (5.3.4)

Так як , приходимо до кінцевої формули швидкості витікання рідини через малий отвір, який знаходиться на відстані від поверхні рідини

. (5.3.5)

Цей кінцевий вираз носить назву формули Торрічеллі. З цієї формули видно, що частинки рідини, виходячи з отвору, мають таку ж швидкість, яку б вони набували, вільно падаючи з висоти Н до рівня отвору.

Ще одна важлива задача гідродинаміки стосується витікання рідини через малі вихідні отвори насосів, компресорів. Особливо це стосується нафтової промисловості, коли нафта, знаходячись під великим тиском, з свердловини поступає в експлуатаційний трубопровід через малий отвір, який називають штуцер. В такому випадку рівняння Бернуллі прийме вигляд

, (5.3.6)

де – тиск в компресорі (свердловині), який значно більший тиску в рідині, що пройшла через малий отвір. Отже,

. (5.3.7)

При великих тисках (порядку 10⁵ – 10⁶ Па) швидкість витікання рідини може досягати 100 м/с і така струмина рідини (газу) використовується як своєрідний „ріжучий” інструмент для гірських виробіток.

5.3.2 Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії

Якщо трубка течії розташована горизонтально (рис.5.3.2), то для всіх її поперечних перерізів, що знаходяться на однаковій висоті, рівняння Бернуллі прийме вигляд:

. (5.3.8)

На основі вимірювання тисків в рухомій рідині базується метод вимірювання швидкостей рідини і газів. Наприклад, в горизонтальній трубці течії (рис.5.3.2) розташуємо манометричні трубки – трубки, висота підняття рідини в яких визначає тиск рідини всередині трубки течії.

По висоті підняття рідини в першій трубці визначаємо статичний тиск, який буде дорівнювати:

. (5.3.9)

Друга трубка, яка відкритим кінцем направлена проти потоку рідини по висоті підняття дає змогу визначити суму статичного та динамічного тисків:

. (5.3.10)

Тому, виміривши різницю висот , шукана швидкість рідини буде дорівнювати:

. (5.3.11)

М анометрична трубка, яка відкритим кінцем розташована до потоку рідини чи газу називається трубкою Піто, названа іменем її винахідника французького вченого А.Піто. Винайдена ще у 1732р, ця трубка у сучасному технічному виконанні широко використовується в авіаційний приладах вимірювання повітряного тиску набігаючого потоку повітря і одночасного визначення швидкості цього потоку. Наприклад, у багатьох реактивних винищувачах трубка Піто розташована на початку фюзеляжу, як це показано на рис.5.3.3.