4.6 Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа

При поступальному русі тіла зміна напряму його руху відбувається у напрямі прикладеної до цього тіла сили. По аналогії, можна чекати такого ж явища і для обертального руху: у якому напрямі хочемо повернути тіло, що обертається так воно і повернеться. Наприклад, велосипедне колесо, як вказано на рис.4.6.1а, обертається відносно вільної осі ОО, яка співпадає з координатною віссю OZ. Взявши двома руками вісь обертання цього тіла, ми намагаємось повернути цю вісь у площині YOZ. Але при цьому відбуваються «дивні» речі: вісь повертається у перпендикулярному напрямі у площині XOZ (рис.4.6.1б). Якщо ж повертати вісь обертання колеса у площині XOZ, то вісь обертання знову ж таки повернеться у перпендикулярній площині, тільки тепер у площині XOZ. Таке явище отримало назву гіроскопічного ефекту. Гіроскоп від грецького gyros – коло та skopeo – дивлюсь. Таким чином, гіроскопічний ефект – явище повороту вільної осі обертання тіла у площині, яка перпендикулярна площині прикладання сили або пари сил до вільної осі обертання цього тіла. Причому, цей ефект стає особливо помітним при великих швидкостях обертання. Тому симетричне тіло, що обертається з великою кутовою швидкістю відносно вільної вісі обертання, називають гіроскопом (від грецького гіро – обертання , скопе – бачити).

Цікаво відмітити, що термін «гіроскоп» вперше запровадив французький фізик Фуко Жан Бернара (1819-1868рр.), назвавши гіроскопом маятник, що демонстрував обертання Землі, дуже влучна назва: такий маятник, який згодом отримав назву маятника Фуко, дійсно давав змогу «бачити» обертання Землі. Під куполом Пантеону у Парижі Фуко підвісив металеву кулю масою 28 кг на стальній дротині довжиною 67м так, що період коливання такого маятника становив 16,4 с. Площина коливання маятника Фуко, як гіроскопа при обертанні Землі, залишалась сталою, а підлога Пантеону, тобто поверхня Землі, оберталась. Зміщення на підлозі сліду від коливань маятника наглядно демонструвало обертання Землі.

Властивість гіроскопів зберігати у просторі вісь обертання широко використовується в системах навігації замість магнітного компаса і такий гіроскоп називається гірокомпасом. Якщо відомий магнітний компас вказує напрям на магнітні, а не на географічні полюси Землі і «чутливий» до дії зовнішніх магнітних полів, то покази гірокомпасу визначають напрям на географічні полюси. Гірокомпас являє собою гіроскоп, вісь якого може вільно обертатись у горизонтальній площині. Під дією обертання Землі, вісь обертання такого гіроскопу встановлюється у таке положення, при якому кут між цією віссю та віссю обертання Землі буде мінімальним. У такому положенні вісь гірокомпаса встановлюється в меридіальній площині, вказуючи напрям точно на географічний полюс.

Сучасний гірокомпас – це складна конструкція, яка забезпечує підтримання великої кутової швидкості та електронної системи, яка слідкує за орієнтацією осі обертання.

З обертанням гіроскопа зв’язане ще одне особливе явище, яке розглянемо на прикладі відомої дитячої іграшки – дзиґи, яка вказана на рис.4.6.2. Якщо розкрутити таку дзиґу, то при відхиленні від вертикального напряму вона не впаде, а її вісь обертанні сама почне повільно обертатись. Такий додатковий обертальний рух, якому передує обертовий рух самого гіроскопа (дзиґи) називається прецесію гіроскопа ( прецесія від латинського передувати).

Дзиґа – це, звичайно, дитяча іграшка, але явище прецесії має місце при обертанні гіроскопів навіть в атомній фізиці, де роль своєрідного гіроскопа є електронна орбіта атома. Тому розглянемо механізм прецесії гіроскопа на прикладі дзиґи. Поставимо вісь дзиґи вертикально і розкрутимо її, надавши кутової швидкості , як це показано на рис.4.6.2А. Якщо момент інерції такої дзиґи-гіроскопа дорівнює І, то при кутовій швидкості вектор його моменту імпульсу дорівнює . Відхилимо вісь гіроскопа-дзиґи від вертикального напряму на кут у площині ZOZ (рис4.6.2Б). Здавалось би, що дзиґа-гіроскоп повинна впасти, адже сила тяжіння все більше буде відхиляти від вертикалі вісь дзиґи. Так було б, якщо б дзиґа-гіроскоп не оберталась. У даному випадку сила тяжіння , яка прикладена до точки С як центра мас дзиґи-гіроскопа створює момент сили відносно точки О і модуль цього моменту сили дорівнює:

, (4.6.1)

де – плече сили, яке, як легко бачити з рисунку, дорівнює , де, у свою чергу, – відстань від опори дзиґи – точки О до точки С – центра мас дзиґи, отже:

. (4.6.2)

Як вектор, цей момент сили перпендикулярний до напряму дії сили і, відповідно, знаходиться у перпендикулярній площині XOZ. Тоді, згідно рівняння динаміки обертового руху твердого тіла, , під дією цього моменту сили вектор моменту імпульсу дзиґи-гіроскопа за час зміниться на у напрямі вектора моменту сили , тобто, вісь гіроскопа під дією сили тяжіння прикладеної до центра мас гіроскопа почне обертатись, так що «кінчик» вектора моменту імпульсу гіроскопа буде описувати коло деякого радіуса , як вказано на рисунку рис.4.6.2Б. За час цей радіус повернеться на кут і, очевидно, що відношення цього кута повороту до часу , за який відбувся такий поворот і визначає кутову швидкість прецесії гіроскопу:

. (4.6.3)

Тепер залишається встановити зв'язок між кутом та параметрами самого гіроскопа: його кутовою швидкістю, моментом інерції та відстанню від точки опори гіроскопа до його центра мас.

З рисунку 4.6.2Б видно, що є елементарною дугою кола радіуса і тому

. (4.6.4)

Зміна моменту імпульсу гіроскопу випливає з основного рівняння динаміки обертового руху твердого тіла і дорівнює

, (4.6.5)

а враховуючи, що

, (4.6.6)

тоді

. (4.6.7)

Так як момент імпульсу гіроскопу дорівнює добутку його моменту інерції на кутову швидкість обертання , то прецесія гіроскопу буде дорівнювати

. (4.6.8)

З досвіду відомо, якщо дзиґа при своєму обертанні зменшує кутову швидкість, то кутова швидкість прецесії зростає. Звичайно, такий самий результат справедливий для прецесії будь якого гіроскопу.

На перший погляд може здатись, що при прецесії гіроскопу порушується закон збереження енергії, адже крім «основного» обертання з’являється додаткове обертання, яке має певну кінетичну енергію. Справа у тому, що перед початком прецесії вісь гіроскопу нахиляється, його центр мас дещо опускається вниз і саме за рахунок зменшення потенціальної енергії гіроскопу «береться» кінетична енергія обертового прецесійного руху.

Крім явища прецесії, має місце ще одне особливе явище – нутація, яке полягає в тому, що при прецесії вісь гіроскопа здійснює невеликі коливання біля середнього положення.

Явище прецесії спостерігається і в мікросвіті. Так, електрон, що обертається навколо ядра атома,володіє орбітальним моментом імпульсу .В зовнішньому магнітному полі відбувається прецесія електронної орбіти електрона ,що зумовлює діамагнітні властивості речовини.