1 Кінематика

Кінематика (від грецького kinema – рух) – розділ механіки, який вивчає рух тіл, не з’ясовуючи причин цього руху. Основне завдання кінематики – це визначення у просторі положення тіла у будь який момент часу за допомогою відповідних рівнянь, які називаються кінематичними рівняннями, що здійснюється. Причиною руху тіл займається інший розділ механіки – динаміка.

1.1 Кінематика матеріальної точки

1. Система відліку

Механічний рух завжди відносний. Тому для опису руху даного тіла вибирають відповідну систему відліку, яка дає можливість визначити положення даного тіла в просторі у будь-який момент часу.

Система відліку – це тіла відліку, зв’язана з ними система координат з вказаним початком та годинник в цій системі.

Наприклад, тілом відліку може бути Земля, а система координат – це добре відома система меридіанів і паралель (рис.1.1.1а).

Початкова точка такої системи розміщена на перетині екватору та нульового меридіану. Рішенням міжнародної комісії в 1884 році за нульовий меридіан прийнято меридіан, який проходить буквально по підлозі астрономічної лабораторії в Гринвічі. Фасад будівлі цієї обсерваторії показано на рис.1.1.1б, де видно проведену лінію меридіану. Таким чином, будучи в Гринвічі, однією ногою можна стояти в східній, а другою – в західній півкулі Землі, як бачимо на рис.1.1.1в.

В даний час все більш широкого застосування набувають супутникові системи відліку, де тілами відліку є спеціально виведені на навколоземну орбіту супутники. Прикладом цього є глобальна супутникова система визначення місцезнаходження GPS (Global Position System). Слід відмітити, що такі супутникові системи продовжують удосконалювати. Наприклад, користувачі системи GALILEO можуть визначати свої координати в будь якій точці Землі з точністю 4 м в горизонтальній площині і 8 м у вертикальній.

1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки

Матеріальна точка - поняття, яке вводиться в механіці для означення об’єкта, який розглядається як геометрична точка, що має масу. Нагадаємо, точка є одним з основних понять геометрії і означення точки не дається. Точка є геометричним абстрактним об'єктом, що має властивості тільки положення в просторі, але не має жодних інших. Важко розуміти, що точка не є матеріальним об'єктом, це просто місце. На кресленнях точку позначають за допомогою олівця, але це не є геометрична точка, а реальний фізичний об’єкт, який має малі, але все ж таки певні розміри. Часто кажуть, що фізикою є фізика плюс математика, а математикою є тільки математика. Математики, в принципі, можуть і не знати фізики (хоча вони її добре знають), а фізики мусять знати математику. Адже математика – це лаконічна мова фізики. Отже, в окремих задачах механіки особливого значення немає, як рухалась та чи інша частина тіла. Наприклад, поїзд проїхав 200 км. Чи має тут значення, яку відстань пройшов передній чи останній вагони? Звичайно, ні. Рух такого тіла фізик заміняє рухом однієї точки, називаючи її матеріальною. Тобто, чисто абстрактне поняття геометричної точки бере на себе «відповідальність» за опис руху матеріального об’єкта (в нашому прикладі поїзда).

Таким чином, тіло, розмірами якого за даних умов можна знехтувати, називають матеріальною точкою. Питання про те, чи можна дане тіло розглядати як матеріальну точку чи ні, не залежить від розмірів самого тіла, а від умов задачі. Так, навіть розглядаючи обертання Землі навколо Сонця, саму Землю в кінематиці її руху можна вважати матеріальною точкою.

Основне завдання кінематики – визначити положення тіла у просторі в будь який момент часу відносно вибраної системи відліку. Звичайно, що найпростіше визначати положення в просторі матеріальної точки, яке здійснюється такими способами:

– векторний спосіб

Вибирають тіло відліку, з яким зв’язують початок радіуса-вектора рис.1.1.2. Тоді положення матеріальної точки М в просторі визначається кінцем радіуса-вектора . В такому випадку рух точки задається рівнянням залежності радіуса-вектора від часу

. (1.1.1)

– координатний спосіб

З тілами відліку зв’язують системи координат, наприклад, Декартові. Так, на рис 1.1.3 показано міську ратушу Івано-Франківська з годинником, яку вибирають за тіло відліку і з цим тілом зв’язують систему координат, направляючи вісь Z вертикально вгору.

Будемо визначати положення повітряної кулі, вважаючи її матеріальною точкою. Положення кулі у вибраній системі відліку задається такими рівняннями залежності координат від часу:

(1.1.2)

Такі рівняння називаються кінематичними рівняння руху матеріальної точки. Якщо з початком системи відліку зв’язати початок радіуса-вектора, що визначає положення тіла просторі, то цей радіус – вектор (рис.1.1.3) можна визначити через координат точки, а саме

, (1.1.3)

де – одиничні вектори (орти).

– природний спосіб опису руху

Якщо наперед відома траєкторія матеріальної точки, то відкладаючи на цій траєкторії шлях S (відстань), який пройшла ця точка за час t, можна визначити положення точки на цій траєкторії. Такий метод опису руху називається природний. Звичайно, для такого способу опису руху траєкторія руху як лінія, вздовж якої рухається тіло, повинна бути зв’язана з тілами відліку, фіксована в просторі і обов’язково повинен бути вказаний початок відліку (нульова точка). Це, наприклад, може бути навіть стежка в полі, яка починається біля будинку (будинок – початок відліку), річка, по якій пливе човен (пристань – початок відліку), залізнична колія (вокзал – початок відліку), заданий коридор польоту літака (аеропорт – початок відліку) і т.д. Так, на рис.1.1.4 показано ділянку дороги з Судака в Алушту, тобто траєкторія руху автомобілів, як матеріальних точок, де за початок відліку приймаємо Судак. Т оді при такому способі опису руху положення матеріальної точки в просторі (на траєкторії) задається залежністю шляху від часу

. (1.1.4)

На географічних або топографічних картах відповідними лініями позначаються шосейні та залізні дороги, ріки і т.д і це, по суті, траєкторії, по яких рухаються тіла як матеріальні точки. Щоб знайти довжину цих ліній використовують спеціальні пристрої, які називають кривометрами (вимірюють довжину кривої ліній). На рис.1.1.5 показано сучасний електронний кривометр. На кінчику такого приладу знаходиться індикатор переміщення приладу по карті або схемі. Електронна система відслідковує рух приладу і в заданому масштабі на дисплеї самого приладу або комп’ютера подає значення довжини кривої в необхідних одиницях (метрах, кілометрах, милях і т.д.).