4.3 Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

Враховуючи, що кутове прискорення тіла при обертовому русі дорівнює , основне рівняння динаміки обертового руху (4.2.12) запишеться:

, (4.3.1)

подібно як записується другий закон Ньютона .

Якщо для матеріальної точки або тіла при поступальному русі величина називається імпульсом тіла, то при обертовому русі маємо величину, яка дорівнює добутку моменту інерції тіла на його кутову швидкість і ця величина називається моментом імпульсу тіла і позначається :

. (4.3.2)

і тоді основне рівняння динаміки можна записати:

. (4.3.3)

Отже, у векторній формі основне рівняння динаміки обертального руху стверджує:

Векторна зміна моменту імпульсу тіла при його обертальному русі пропорційна вектору моменту сили, прикладеного до тіла і відбувається у напряму дії цього моменту сили (порівняйте з формулюванням другого закону Ньютона через зміну імпульсу).

В розділі 3.1 було показано, що для замкнутої системи виконується закон збереження імпульсу. Аналогічний закон маємо і для моменту імпульсу:

Якщо на систему тіл, які обертаються, не діють зовнішні моменти сил або їх векторна сума дорівнює нулю, то момент імпульсу системи залишається сталою величиною:

(4.3.4)

Справді, якщо для замкнутої системи , то , звідки (хоча це не строгий вивід закону збереження моменту імпульсу).

В основі збереження моменту імпульсу лежить ізотропність простору, що значить однаковість його властивостей в усіх напрямах. Тут однаковість слід розуміти, що поворот замкнутої системи, як цілого, не змінює її механічних властивостей.

Закон збереження моменту імпульсу можна продемонструвати відомим дослідом – людина на лаві Жуковського, який ілюструє рис.4.3.1.

Л ава Жуковського – це горизонтальна кругла платформа, яка з малим тертям у підшипниках може обертатись навколо вертикальної осі.

а) На лаву Жуковського стала людина, розвела руки у сторони і її «крутнули», надаючи кутової швидкості відносно вертикальної осі обертання. Тоді момент імпульсу людини дорівнює

, (4.3.5)

де – момент інерції людини з розведеними руками (точніше, момент інерції системи людина +платформа).

б) Продовжуючи обертатись, людина опускає руки, так що момент інерції системи зменшується до . Так як система замкнута (людину вже ніхто не крутить, а тертя при обертанні дуже мале), то, згідно закону збереження моменту імпульсу, зменшення моменту інерції до приведе до збільшення кутової швидкості до :

. (4.3.6)

в) Одним з елементів фігурного катання на ковзанах є обертання, коли фігурист при обертанні опускає руки, що приводить до його швидкого обертання, як це вказано на рисунку. Тут теж має місце закон збереження моменту імпульсу. Подібно, як на лаві Жуковського, опускання рук спортсмена зменшує його момент, внаслідок чого зростає кутова швидкість фігуриста.

М ожна привести ще інші приклади закону збереження моменту імпульсу, що мають значне практичні значення. Наприклад, гелікоптер, має один несучий гвинт, який обертається з великою кутовою швидкістю (рис.4.3.2). Тоді, згідно закону збереження моменту імпульсу, гелікоптер почне обертатись у протилежному напрямі з кутовою швидкістю :

, (4.3.7)

де – момент інерції гвинта, – момент інерції гелікоптера. Погодьтесь, керувати гелікоптером, що обертається, справа не з легких. Тому на «хвості» гелікоптера встановлюється додатковий гвинт, що обертається у перпендикулярній до несучого гвинта площині. Цей додатковий гвинт, створюючи силу тяги при плечі цієї сили і відповідним моментом сили компенсує реактивний обертовий момент гелікоптера.

Фундаментальність закону збереження моменту імпульсу дозволила передбачити існування нової елементарної частинки. Так, була відома реакція перетворення нейтрона в протон. Нейтрон перетворюється в протон „викидаючи” з себе електрон. Розглядаючи фізику елементарних частинок буде сказано, що протон, нейтрон та електрон володіють власним моментом імпульсу, який характеризується спіновим числом (спін – від англ. обертатись). Так ось, якщо в мікросвіті виконується закон збереження імпульсу, то спінове число до розпаду нейтрона повинно бути рівне сумі спінових чисел протона і нейтрона, які утворились після розпаду, тобто , але така рівність неможлива, значить повинна бути ще одна частинка, спін яка дорівнює . Цю теоретично передбачену частинку назвали нейтрино, яка лише згодом була виявлена експериментально.