1.1.5 Рівнозміний рух. Прискорення. Змінний рух. Миттєве прискорення

Якщо за будь-які, але рівні проміжки часу швидкість за модулем змінюється на одну і ту ж величину, то такий рух називається рівнозмінниим – (рівноприскореним або рівносповільненим). Для такого руху відношення зміни швидкості до часу , за який відбулась ця зміна, є величина стала, називається прискоренням

(1.1.14.)

і вимірюється в м/с².

Якщо ж за рівні проміжки часу маємо різну зміну швидкості, то такий рух змінний і тоді відношення (1.1.17) визначає середнє прискорення

(1.1.15)

Чим менший проміжок часу, тим менше змінний рух відрізняється від рівно змінного, тому миттєве прискорення буде визначатись як математична границя, до якої прямує середнє прискорення і границя буде першою похідною від швидкості по часу

. (1.1.16)

Тому, якщо відома функція залежності швидкості від часу, то миттєве прискорення знаходиться як перша похідна від швидкості по часу.

Так як , то прискорення є другою похідною від шляху по часу

. (1.1.17)

Переходячи до векторного способу опису руху, який визначає не тільки модулі кінематичних величин, але і напрями цих величин, прискорення теж буде векторною величиною. Так, для вектора середнього прискорення будемо мати

. (1.1.18)

Це означає, що вектор прискорення за напрямом співпадає з напрямом векторної зміни швидкості.

Для миттєвого прискорення за аналогією з 1.1.19 маємо

. (1.1.19)

Отже, вектор миттєвого прискорення визначається як перша похідна від вектор швидкості по часу. Приймаючи до уваги, що вектор миттєвої швидкості є першою похідною від вектора переміщення, отримаємо значення вектора миттєвого прискорення як другої похідної від радіуса-вектора по часу

(1.1.20)

1.1.6 Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення

Якщо матеріальна точка рухається по довільній кривій, то вектор швидкості, який дотичний до траєкторії руху, змінює свій напрям. Крім того, швидкість може змінюватись і за модулем. Отже, приходимо до висновку, що при криволінійному русі існує два прискорення: одне характеризує зміну швидкості за напрямом, а друге – за модулем. Тепер залишається математично описати наявність цих прискорень і такий опис пропонується зробити наочним, послідовно простежуючи, що «відбувається» з векторними кінематичними величинами, як це вказано на рис.1.1.8.

Отже, як видно з рисунку 1.1.8, повна векторна зміна швидкості дорівнює векторній сумі

(1.1.21)

і тоді середнє прискорення становить

. (1.1.22)

щоб визначити миттєве прискорення необхідно перейти до границі, коли

. (1.1.23)

Тобто, вектор повного прискорення дорівнює векторній сумі двох прискорень, де перша границя визначає прискорення, що характеризує зміну швидкості за напрямом, а друга за величиною. А тепер визначимо напрям цих прискорень. Для цього необхідно визначити напрями векторів , к оли вони стають нескінченно малими «перетворюються» в . Таке «перетворення» ілюструє рис.1.1.9а, коли відстань між точками 1 та 2 з стає нескінченно малою, відповідно кут між першим і другим векторами складає нескінченно малу величину . Звичайно, рисунок умовний, на якому неможливо показати нескінченно малі величини, але будемо вважати, що показані на такому рисунку вектори є нескінченно малими.

А кому «належать» вектори ? На рис 1.1.9а вони ніби «висять» в повітрі, але ж вони характеризують зміни швидкостей при переміщенні від точки 1 до точки 2, які в границі стають нескінченно близькими, кут стає нескінченно малим. Отже, початок векторів повинен бути в точці 1, як це вказано на рис 1.1.9б.

При нескінченно малому куті нескінченно малий вектор , який характеризує зміну швидкості за напрямом, стає перпендикулярним (нормальним) до вектора швидкості. Отже, прискорення, яке визначає зміну швидкості за напрямом, буде перпендикулярним, або нормальним, до вектора швидкості. Звідси назва – нормальне, перпендикулярне і позначається .

. (1.1.24)

При нескінченно малому куті нескінченно малий вектор , який характеризує зміну швидкості за величиною, співпадає зі швидкістю або з дотичною до траєкторії. Тому прискорення, що характеризує зміну швидкості за величиною, буде дотичними до траєкторії. Звідси назва – дотичне, або тангенціальне прискорення. Позначається .

. (1.1.25)

Так як вектор визначає повну зміну швидкості, де входить зміна швидкості за напрямом і величиною, вектор повного прискорення, як легко зрозуміти з рисунку, дорівнює векторній сумі нормального та тангенціального прискорень

, (1.1.26)

aбо у скалярній формі модуль повного прискорення дорівнює

. (1.1.27)

Добре, це все теорія. Але як це все виглядає насправді, тобто як визначити миттєве, тангенціальне, нормальне та повне прискорення точки саме в даній точці траєкторії?

Якщо швидкість за модулем не змінюється, то взагалі відпадає питання про тангенціальне прискорення – його просто немає. Якщо ж, наприклад, швидкість за модулем змінюється згідно закону , то взявши похідну по часу отримаємо миттєве тангенціальне прискорення, яке не залежить від траєкторії руху точки. Інша справа – нормальне прискорення, адже навіть коли швидкість за модулем не змінюється, то при криволінійному у русі швидкість змінюється за напрямом і чим «крутіша» траєкторія, тим більша ця зміна. Отже, в значення миттєвого нормального прискорення крім самої швидкості повинна входити ще одна величина – радіус кривизни траєкторії в даній точці. Нагадаємо, що радіус кривизни траєкторії – це радіус такого кола, елементарна дуга якої ds співпадає елементарною дугою ds даної кривої в даній точці. Так, на рис.1.1.9а радіус кривизни траєкторії в точці 1 дорівнює радіусу r відповідного кола.

Модуль миттєвого нормального прискорення буде визначатись похідною

. (1.1.38)

За нескінченно малий проміжок часу dt вектор швидкості повернеться на нескінченно малий кут і тому модуль зміни швидкості за напрямом буду становити

. (1.1.29)

За цей самий час dt точка пройде елементарну дугу ds кола радіусом r і цей радіус повертається на кут і тому

. (1.1.30)

З 1.1.6.7 та 1.1.6.8 маємо, що модуль зміни швидкості за напрямом при русі зі швидкістю v по елементарній дузі ds радіуса кривизни r дорівнює

. (1.1.31)

Підставивши це значення в і враховуючи , що похідна від шляху по часу визначає миттєву швидкість v, отримуємо відому формулу так званого доцентрового прискорення, яке є нормальним прискоренням, напрямлене перпендикулярно до швидкості або до центра кривизни траєкторії, по якій рухається матеріальна точка

. (1.1.32)

А тепер доцільно розглянути окремі випадки руху, які ілюструють тангенціальне, нормальне та повне прискорення.

1. Тіло рухається прямолінійно. Швидкість змінюється лише за величиною. Отже, маємо чисто тангенціальне прискорення.

2. Точка рівномірно рухається по колу. Швидкість за величиною не змінюється, змінюється тільки напрям вектора швидкості. Отже, тут маємо справу з чисто нормальним прискоренням.

3. Точка рухається по кривій, змінюючи модуль і напрям швидкості, отже є і тангенціальне і нормальне прискорення. Прикладом такого руху може бути рух тіла, кинутого горизонтально, про що буде детально йти мова у відповідній задачі про визначення нормального і тангенціального прискорення саме для такого руху.