5.Задачі на середню і миттєву швидкість та миттєве прискорення

В багатьох випадках рух тіла як матеріальної точки задається рівнянням залежності шляху від часу. Тоді швидкість і прискорення визначаються як відповідні математичні похідні. Практично в усіх збірниках задач ви зустрінете подібну умову:

1. Залежність шляху S від часу t при русі тіла задано рівнянням S=Вt+Сt²+Dt³, де В=10 м/с, С=6 м/с² та D=2 м/с³. Визначити шлях, швидкість та прискорення тіла через 4 с після початку руху.

1. Підставляємо час t = 4с та визначаємо шлях S=264м.

2. Швидкість – перша похідна від шляху по часу

.

3. Прискорення – перша похідна від швидкості по часу

.

Дійсно, задача дуже проста, навіть думати особливо не треба – є готові правила, треба лише вміти брати похідні. Але ми говорили і далі будемо говорити, що кожна задача з фізики описує відповідне фізичне явище. Тому проаналізуємо подане рівняння руху. По-перше – який цей рух, прямолінійний чи криволінійний. На це питання відповідь більш проста, ніж математика – а хто його знає. Може, тіло рухалось по колу або по сторонах трикутника або як завгодно, але в усіх випадках шлях, як скалярна величина той самий: S=264 м. Так само, отримана швидкість v=125м/с – це лише модуль швидкості, напрям невідомий. Але, крім того, в даному рівнянні руху є ще одна величина D=2м/с³, яка вказує на зміну самого прискорення. А чи можливий такий рух зі змінним прискоренням? Прикладом такого руху зі змінним прискоренням може бути рух автомобіля – більше тиснемо на «газ» більша сила тяги, більше прискорення.

В багатьох випадках важливою практичною задачею є визначення не миттєвої, а середньої швидкості. Дійсно, хто не знає автомобільних заторів у містах: швидкісні автомобілі, вистоюючи в заторах, ледве долають кілометр-другий хвилин за 20-30, а то і більше.

Для знаходження модуля середньої швидкості необхідно розділити весь шлях S нерівномірного руху на той час t, за який цей шлях пройдено (навіть, враховуючи час, коли тіло не рухалось, наприклад, зупинки автомобіля).

.

Пропонуємо розглянуті вже відомі, так звані, класичні задачі на середню швидкість.

2. Першу половину часу автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину часу з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.

- весь шлях S за час t з середньою швидкістю - - шлях за першу половину , шлях за другу половину часу

Так як ,

то

А тепер дещо подібна задача, тільки різниця в тому, що:

3. Першу половину шляху автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину шляху з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.

Тут доцільно зробити рисунок (1.6.14)., який, ілюструє розв’язок задачі

- весь шлях S за час t з середньою швидкістю

перша половина шляху за час t₁ , - друга половина

шляху за час t_{2 .}

Так як загальний час t дорівнює сумі , то середня швидкість буде дорівнювати

Задача з елементами інтегрального числення.

4.Залежність швидкості від часу при русі тіла, задано рівнянням , де А=6 м/с² і В=2 м/ с³ . Визначити середню швидкість тіла при його русі протягом часу від t₁= 2 с до t₂=10 c. В даному в випадку за час Δt=t₂- t₁ тіло пройде відстань ΔS=S₂–S₁ і середня швидкість знаходиться відношенням .

Наведена в умові задачі залежність швидкості від часу вказує на те, що при даному русі змінюється не тільки швидкість, але змінюється ще й прискорення (зверніть увагу на коефіцієнт В). Тому лише за нескінченно малий проміжок часу рух можна вважати рівномірним з миттєвою швидкістю v і елементарний шлях , що пройде тіло за цей час буде дорівнювати , а весь шлях – інтегральній сумі

Підставивши числові значення величин, отримаємо

.

І тоді середня швидкість буде становити .