3. Момент інерції однорідного диска або циліндра

У даному випадку однорідний диск можна уявити як сукупність тонких кілець. Тому знаходження моменту інерції однорідного диску зведеться до знаходження інтегральної суми моментів інерцій кілець, з яких складається такий диск. Якщо маса елементарного кільця , а радіус , то його момент інерції становить

. (4.4.9)

Ввівши поняття поверхневої густини кільця, як масу одиниці площі (кг∕м²) при площі кільця ,

маса такого елементарного кільця буде рівною:

. (4.4.10)

В свою чергу, загальній площі диску та його масі поверхнева густина визначиться наступним співвідношенням:

. (4.4.11)

Отже,

. (4.4.12)

Загальний момент інерції диску дорівнює інтегральній сумі (4.4.13) елементарних моментів інерцій кілець, з яких складається цей диск, причому радіус таких кілець змінюється від нуля до радіуса диску:

. (4.4.13)

4. Момент інерції конуса

Якщо уявити конус як сукупність тонких дисків змінного радіуса, то, відповідно, момент інерції конуса дорівнює сумі моментів інерцій таких дисків, що утворюють даний конус. Так, на рис.4.4.4 зображено конус, де його складовою частиною є диск радіуса та товщиною . Об’єм такого елементарного диску дорівнює

. (4.4.14)

Знаючи густину речовини конуса, маса такого диску становитиме

. (4.4.15)

Густину речовини диска можна визначити з елементарного співвідношення

, де – об’єм диска, виражений через радіус його основи та – висоту, дорівнює , отже,

. (4.4.16)

Тоді момент інерції такого елементарного диска дорівнює . (4.4.17)

Момент інерції всього конуса дорівнює інтегральній сумі моментів інерцій всіх дисків, на які ми розбили цей конус:

. (4.4.18)

Приведемо підінтегральний вираз до однієї змінної, виходячи з подібності трикутників і, крім того, для спрощення розрахунків виберемо початок системи координат у вершині конусу , тому

. (4.4.19)

5. Момент інерції однорідної суцільної кулі

Визначаючи момент інерції конуса, ми, по суті, «різали» цей конус на тонкі диски. Користуючись цим самим принципом, «розріжемо» суцільну кулю на нескінченно тонкі диски (подібно як лимон чи апельсин ріжуть на круглі дольки). На рис.4.4.5 показано суцільну куля радіуса з її однією «долькою» – диском радіуса і товщиною . Маса такого елементарного диска визначається співвідношенням 4.4.15. Що стосується густини кулі, то , де – об’єм кулі, тому маса виділеного елементарного диску становить:

, (4.4.20)

а момент інерції дорівнює

. (4.4.21)

Приведемо праву частину цього рівняння до одної змінної враховуючи, що

, (4.4.22)

тоді

, (4.4.23)

Момент інерції всієї кулі дорівнює сумі моментів інерцій всіх елементарних дисків, починаючи від нульового радіусу (точка О на рис.4.4.5), потім, проходячи «екватор» радіусу , і знову закінчуючи нульовим радіусом на протилежному кінці кулі (ніби на полюсі). Це значить, інтегрування треба проводити у межах: (нижня межа), (верхня межа):

. (4.4.24)

Провівши інтегрування, отримаємо, що момент інерції суцільної однорідної кулі відносно осі обертання, що проходить через її центр, дорівнює:

. (4.4.18)