2 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони ньютона. Сили в механіці. Гравітація

2.1 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони Ньютона

Динаміка (від грецького «dynamis», що значить сила) – розділ механіки, який вивчає рух тіл під дією прикладених до них сил. Поняття сили є одним з основних понять динаміки, про що буде йти мова згодом.

В динаміці на основі законів Ньютона розглядаються два типи задач. Задачі першого типу – це такі, коли, знаючи закони руху тіла, необхідно визначити сили, що діють на це тіло. Задачі другого типу полягають в тому, що знаючи сили, які діють на тіло, визначити закони його руху. Задачі такого типу є найбільш поширеними в техніці. Всі ці задачі розв’язуються застосуванням законів Ньютона – фундаментальних законів класичної механіки. Сам Ньютон навіть не міг перебачити, яке величезне практичне застосування знайдуть його закони. Так що ж штовхало Ньютона до такого фундаментального відкриття? Людина за своєю природою є допитливою істотою. Особливо ця допитливість проявляється в дитинстві – мала дитина задає безліч питань: а чому, а що, а як і т.п. Так ось, справжній вчений та людина, яка не втратила дитячої допитливості і в дорослому віці, тільки вона ставить більш серйозні питання і, не знайшовши на них готової відповіді сама, в своїх наукових пошуках знаходить цю відповідь. Як побудований світ, які основні закони діють в цьому світі – це ті питання, над якими працювали і працюють фізики. Ще задовго до Ньютона ряд передових мислителів, наприклад Декарт, уявляли світ як механізм, який діє за законами причинності і який не має меж. Задуманий і створений вищою істотою цей механізм може функціювати самостійно. Вперше наукове пояснення цього механізму було дано англійським вченим Ісаком Ньютоном в його безсмертній роботі «Математичні начала натуральної філософії», яка вийшла в світ у 1687 році. Потім було ще два видання в 1713 та 1720 р., в яких Ньютон розглядає не тільки закони механіки, але й торкається фундаментальних понять простору і часу. У восьмому розділі другої книги Ньютон розглядає питання акустики. Особливу увагу заслуговує «Оптика», де вперше він висуває корпускулярну гіпотезу про природу світла, до якої повернулись майже через століття. Навіть в такій прикладній дисципліні, яку тепер ми називаємо реологія (наука про течію рідин), Ньютон вперше встановлює закон внутрішнього тертя, який і в даний час має велике практичне значення, про що детально буде йти мова в розділі «Механіка рідин і газів» даного посібника. Дійсно, Ньютон геніальний вчений і на могильному пам’ятнику, де він похований у Вестмінстерському абатстві в Лондоні є такий напис «Тут спочиває сер Ісак Ньютон, дворянин, який майже божим розумом перший довів з факелом математики рух планет, шляхи комет та приливи в океані. Він досліджував властивості світлових променів і появу при цьому різних кольорів, про що раніше ніхто не здогадувався. Старанний, мудрий і вірний проповідник природи і святого писання, він стверджував своєю філософією велич всемогутнього Бога, а сам виражав євангельську простоту. Хай смертні радіють, що існувала така прикраса роду людського. Родився 25 грудня 1642 р., помер 20 березня 1737р.».

На статуї Ньютона, встановленій в Триніті-коледжі, розміщенний напис з Лукреція Кара: «Qui genus humanum ingenio superavit», що значить з латинського «Він перевершив розум роду людського». Хоча даний посібник з фізики не претендує на розгляд питань історії фізики, все ж буде цікавим та корисним коротко відмітити тих великих вчених, які створили фізику як науку. Тому, закінчивши такий короткий біографічний екскурс про Ньютона, тепер розглянемо суть його відкриттів, які всі знають під назвою закони Ньютона.

Закони Ньютона – фундаментальні закони класичної механіки. Ці закони не виводяться, а є узагальненням спостережень та експериментальних фактів. Тому ці закони сам Ньютон виділив в окремому розділі математичних начал натуральної філософії, назвавши цей розділ «аксіомами руху». На рис.2.1.2 наведена титульна сторінка цього розділу. З латинського аксіома – значить твердження без доведення (згадайте аксіоми евклідової геометрії. До речі, про ці аксіоми ми будемо говорити, розглядаючи теорію відносності Ейнштейна як теорію простору та часу, де діє псевдоевклідова геометрія).

Перший закон Ньютона

Це закон інерції, який встановлює фундаментальну властивість тіл зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху. Саме слово інерція з латинської мови означає лінивий, бездіяльний. Тут це слово „інерція” – дуже влучний термін, дійсно, тіла „ліниві”, „не хочуть” змінювати стан спокою або рівномірного руху. Свій перший закон Ньютон дослівно формулює наступним чином:

Будь-яке тіло продовжує утримувати свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, поки і поскільки воно не буде змушено прикладеними силами змінити цей стан.

Системи відліку, де виконується цей закон називаються інерціальними. Тому інколи приводять сучасне формулювання другого закону, яке відоме з шкільного курсу, підкреслюючи наявність інерціальних систем відліку.

Існують такі системи відліку, щодо яких тіла зберігають стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, якщо на них не діють інші тіла або дія інших тіл компенсується.

Формулюючи цей закон, ми приймаємо його як дещо звичне – є такий закон от і все. Але нам навіть і не спадає на думку, що до Ньютона вважали що, будь який рух, навіть рівномірний вимагає сили. Дійсно, досвід показував, що без запряженого у віз коня не буде руху, вітер перестане надувати вітрила – корабель не попливе і т.д. Тобто, в часи Ньютона мовою сучасної експериментальної фізики здійснити «чистий» експеримент з ідеальним рівномірним прямолінійним рухом було практично неможливо. Так ось, знову ж таки мовою сучасної експериментальної фізики, Ньютон на фоні шумових сигналів зумів виділити корисний сигнал. Тут шумові сигнали – це ті різноманітні дії на тіло, які гасять, «глушать» корисний сигнал, який Ньютон назвав інерцією.

Говорячи про закон інерції Ньютона, необхідно віддати належне іншим вченим, які, по суті, дуже близько підійшли до цього закону. Так, Галілео-Галілей чисто логічними міркуваннями приходить до висновку, що у відсутності сили рух тіла є рівномірним і прямолінійним та необмеженим в просторі і в часі.

Другий закон.

Якщо перший закон Ньютона встановлює фундаментальну властивість тіл, яку назвали інерцією, то другий закон встановлює кількісні співвідношення між змінами в русі та причиною, що зумовили ці зміни. Перед тим, як сформулювати свій другий закон, Ньютон вводить дуже важливі поняття, якими ми користуємось і понині. По-перше – це поняття маси, як міри інертності. Ньютон називає цю міру інертності вродженою силою матерії в тому розумінні, що вона чинить опір будь-якій зміні швидкості. Слово «маса» з латинського означає брила, кусок. Чим більша така брила (розуміємо – маса), тим вона інертніша, тим більше «не хоче змінювати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху (стара назва – кількість руху). Але це ще не все. Далі Ньютон вводить поняття кількості руху (сучасна назва – імпульс) – як добуток маси тіла на його швидкість

. (2.1.1)

Тут треба відмітити, що Ньютон був далекоглядний, ввівши поняття імпульсу тіла, розуміючи, що в динаміці основну роль грає не окремо маса тіла і швидкість, а саме їх добуток. Тому навіть в сучасній квантовій фізиці використовують поняття кількості руху – імпульсу частинок, наприклад імпульс фотона. Ввівши поняття імпульсу тіла, Ньютон дає наступне формулювання свого другого закону:

Зміна кількості руху тіла (імпульсу) пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається в напрямі тої прямої, по якій ця сила діє. Даний закон записується

(2.1.2)

Якщо маса тіла не змінюється , то

. (2.1.3)

Так як похідна від швидкості по часу визначає прискорення, то отримуємо звичний запис другого закону Ньютона:

, (2.1.4)

або

(2.1.5)

і тоді приходимо до відомого формулювання другого закону Ньютона:

Прискорення матеріальної точки прямо пропорційне силі, яка на нього діє та направлене в сторону дії цієї сили.

Звичайно, треба розуміти, що в другому законі Ньютона мова йде про матеріальну точку або тіло, що здійснює поступальний рух – прискорення всіх точок однакове, тому вираз називають ще законом Ньютона для матеріальної точки або тіла при поступальному русі. Крім того, сила може бути рівнодійною багатьох сил, що діють на тіло, тобто

. (2.1.6)

Нарешті, Ньютон дає означення сили як причини, що зумовлює зміну стану спокою або рівномірного прямолінійного руху. Тому, користуючись таким підходом до означення сили, і була введена одиниця сили 1Н (Ньютон).

Сила 1Н – це така сила, яка надає тілу масою 1 кг прискорення 1 і згідно 2.14 одиниця сили 1 Н є похідною одиницею від основних одиниць системи СІ . Часто говорять, що 1Н дорівнює добутку метр на кілограм, ділено на секунду у квадраті. Ніхто ніколи не множив кілограм на метр та ще ділив на час у квадраті. Наприклад, на тіло масою 2 кг діє сила 10 Н. Це не значить, що множимо 5 кг на 2 м і ділимо на секунду у квадраті – ми множимо лише цифру 5 на 2 і ділимо на одиницю і в результаті отримаємо цифру 10, як 10Н або . Таким чином, знаючи прискорення а тіла масою m, згідно (2.1.4), можна визначити значення сили, що спричинило таке прискорення, але це не означає, що запис другого закону Ньютона у вигляді (2.1.4) є означенням сили як добутку маси на прискорення. Ще раз підкреслимо, що сила – фізична величина, яка характеризує дію на тіло, внаслідок чого тіло змінює стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, тобто набуває прискорення (або викликає деформації, адже деформації – це теж зміна стану тіла).

Третій закон Ньютона

Цей закон встановлює фундаментальну властивість взаємодії двох тіл і Ньютон наводить наступне формулювання цього закону:

Дії є завжди рівна протилежна протидія, інакше ,сили взаємодія двох тіл одне на одне рівні за величиною і напрямленні в протилежні сторони.

Математично третій закон Ньютона записується у вигляді

, (2.1.7)

де - сила, яка діє на перше тіло зі сторони другого,

- сила, яка діє на друге тіло з сторони першого.

Сили, з якими діють одне на одне два тіла, завжди рівні за модулем, направлені в протилежні сторони і діють по одній прямій.

Рисунок 2.1.3 ілюструє центральну взаємодію двох сферичних тіл, тобто сили взаємодії цих тіл співпадають з прямою, яка з’єднує центри цих тіл.

Т ут треба особливо підкреслити, що рівнодійна цих двох сил, хоча вони за модулем рівні і напрямлені в протилежні сторони, не дорівнює нулю, так як ці сили прикладені до різних тіл. При будь-яких взаємодіях двох тіл сили завжди виникають попарно і обидві сили мають однакову природу. Як тут не згадати відоме питання – жарт. Кінь тягне сани чи воза, приклавши до воза деяку силу. Згідно третього закону Ньютона така ж сама сила буде діяти і на коня. Тому чому ж тоді сани чи віз рухаються? На подібне питання одна студентка на екзамені, не вагаючись, відповіла – «а кінь трішечки-трішечки сильніше тягне сани». Це ж питання можна поставити про локомотив, який тягне потяг, що локомотив трішечки сильніше тягне потяг? А тепер з’ясуємо, чому ж все таки кінь тягне сани, як вказано на рис.2.1.4. Так ось, говорячи про коня і сани, що тягне кінь, необхідно розглянути ще одне тіло, без якого неможливий рух і коня і саней. Цим тілом є Земля – планета Земля, на якій ми знаходимось і на якій все, що тільки може рухатись – рухається. Почнемо з руху саней, що ж змушує їх рухатись – кінь? А якщо на півночі сани тягнуть собаки або олені? Звичайно, для їздового має значення на кого крикнути – НУ! і батогом махнути, а щодо саней – вони рухаються тому, що на них діє сила натягу упряжки і немає значення, чим вона створена: чи кіньми, чи оленями, чи собаками і т.п. А перешкоджає руху саней сила тертя. Отже, якшо маса саней m₁, то рівняння руху саней запишеться:

. (2.1.8)

А що відчуває кінь? Він копитами впирається об землю, відштовхується від неї і рухається. Якщо б кінь був би на гладенькому льоді, то не то що сани, але й сам з місця би не зрушив.

Отже, з точки зору фізики це значить: одне тіло (кінь) діє на друге тіло (Землю) з деякою силою з такою ж силою (ні трішечки не більше) на друге тіло (Землю) діє на перше (коня ) з сило , це і буде та сила, яку ми називаємо силою тяги. Ще раз підкреслимо – сани тягне сила натягу упряжки, а для коня – це його робота: створити цю силу натягу. Отже, кінь розвиває силу тяги і йому протидіє сила натягу упряжки і, якщо маса коня m₂ , то рівняння його руху прийме вигляд

. (2.1.9) Почленно додавши ці рівняння і враховуючи, що , отримаємо

, (2.1.10)

або в проекціях на вибраний напрям руху

. (2.1.11)

Таким чином, щоб система рухалась з прискоренням, тобто щоб сани зрушили з місця, сила тяги, яку розвиває кінь за рахунок взаємодії з Землею (а не з саньми) повинна хоч трішечки бути більшою від сили натягу упряжки, яка діє на коня з боку саней. А студентка говорила лише про взаємодію двох тіл: тільки коня і тільки саней, опускаючи наявність Землі, з якою взаємодіє кінь, створюючи рушійну силу тяги. Подібним чином можна пояснити і рух поїзда, який тягне локомотив. Саме за рахунок тертя між рейками і колесами локомотива створюється сила тяги, прикладена до локомотива.А сила натягу зєднання між локомотивом і вагонами є силою, що змушує рухатись вагони.