2.3.3 Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми

Існує думка, що сила притягання між тілами довільної форми визначається відстанню між їх центрами маси. Таке положення справедливе лише для сферичних тіл або тіл, розміри яких значно менші відстаней між цими тілами. Розглянемо наглядний приклад – пропонується найпростіша і найефективніша конструкція пастки для мишей – звичайна труба, наприклад довжиною 1 м, і для приманки всередину труби кладемо кусочок сиру. Якщо мишка далеко від труби, то в законі тяжіння Ньютона особливої різниці немає, яку відстань брати – від мордочки чи від хвоста мишки, так само, від якого кінця труби рахувати відстань – ближнього чи дальнього. Мишка, досягнувши труби, залазить в неї і, згідно закону Всесвітнього тяжіння, при зменшенні відстані до нуля, між центром труби та центром мас мишки сила тяжіння повинна нескінченно зростати (елементарна математика – знаменник дробу зменшується, дріб зростає). Отже, досягнувши центра труби, бідна мишка нікуди вже не дінеться, на мишку буде діяти нескінченно велика гравітаційна сила. Ну що, переконались що не завжди в законі тяжіння Ньютона відстань між тілами треба брати як відстань між центрами їх мас. А яку ж відстань брати, як розраховувати в силу гравітаційної взаємодії?

Щоб визначити силу притягання між двома довільними тілами, необхідно розбити ці тіла на такі малі елементи, щоб вважати їх матеріальними точками. Далі визначаємо силу взаємодії між такими окремими елементами і результуюча сила буде рівна векторній сумі всіх таких елементарних сил.

Так, на рисунку 2.3.10 показані два тіла А та В довільної форми. Необхідно визначити силу гравітаційного притягання між цими тілами. Кожне з тіл розбиваємо на такі малі елементи, щоб наближено вважати їх матеріальними точками. На рисунку червоним квадратиком вказаний і-тий елемент першого тіла, всього таких елементів n. Якщо тіло В розбито на m елементів, то рівнодійна гравітаційних сил , з якими всі елементи тіла В діють лише на один і- тий елемент тіла А дорівнює

. (2.3.14)

Так як в першому тілі маємо і- елементів, то сумарна сила гравітаційної взаємодії даних двох тіл буде визначатисьнаступною векторною сумою

. (2.3.15)

Такий метод визначення гравітаційної сили взаємодії тіл довільної форми методом розбивки їх на окремі елементи, а потім визначення сумарної векторної суми всіх сил надзвичайно громіздкий. Тому при можливості таку суму доцільно приводити до інтегрування. В цьому випадку тіла розбивають на нескінченно малі елементи.

Повертаємось до нашого прикладу з мишкою і трубою. Спочатку визначимо силу гравітаційної взаємодії, поки мишка ще не залізла в трубу. Строго математично задача формулюється наступним чином. Є циліндр (труба) довжиною l та радіусами: внутрішнім r і зовнішнім R. Маса циліндра m₁. По осі циліндра рухається тіло циліндричної форми (мишка) масою m_{2 .} Необхідно знайти залежність сили гравітаційної взаємодії від відстані між центрами мас цих тіл, коли ця відстань більша або дорівнює (мишка ще не залізла в трубу). Це задача, як вже вище вказувалось – задача інтегральна, тобто циліндр (трубу) розбивають на окремі елементи і знаходять силу взаємодії з кожним елементом другого тіла (мишки), результуюча сила дорівнює інтегральній векторній сумі всіх таких сил. А тепер ще для спрощення розв’язку поставленої задачі будемо вважати мишку матеріальною точкою m₁ , яка знаходиться н а відстані a від центра маси труби, а саму трубу будемо вважати тонким стержнем, по осі якого рухається матеріальна точка. Довжина труби l і маса m₂ . Ділимо трубу на нескінченно малі елементи довжиною dx і масою dm. На рис.2.3.11 вказано такий елемент, що знаходиться на відстані від x мишки.

Тоді сила притягання між мишкою і таким нескінченно малим елементом, згідно закону тяжіння, буде становити

. (2.3.16)

Якщо лінійна густина труби становить τ, тобто маса одиниці довжини (вимірюється в кг/м), то маса елемента довжиною dx буде рівною dm₂=τ dx, отже

. (2.3.17)

В нашому випадку сили, які діють на мишку зі сторони труби, мають однаковий напрям, тому векторну суму сил можна замінити алгебраїчною. Це значить, необхідно взяти означений інтеграл від (2.3.4), враховуючи наступні межі інтегрування: від (лівий кінець труби) до (правий кінець труби).

А також, враховуючи, що лінійна густина труби дорівнює відношенню маси труби до її довжини прийдемо до виразу . (2.3.18)

Зверніть увагу, якщо розміри труби l значно менші відстані а між мишкою і трубою, то малою величиною l та ще й в квадраті та поділеній на 4 можна нехтувати. В такому випадку, трубу можна вважати точковою масою і відстань в законі тяжіння Ньютона можна відраховувати від центра мас труби. Зазвичай такий висновок справедливий для тіл будь якої форми, якщо їх розміри значно менші відстані між ним Але це ще не все. А що буде, коли одне тіло буде всередині другого, що буде з мишкою всередині труби, чи дійсно вона попаде в гравітаційну пастку? Що, знову почнемо розбивати трубу на нескінченно малі елементи а потім інтегрувати? Звичайно, так можна робити, і отримуємо кінцевий результат – ніякої пастки для мишки не буде. Але тут нам спала на думку одна досить забавна історія, яка підказала простий розв’язок поставленої задачі. А було це так: на одній фабриці, що випускає олівці, раціоналізатор висунув ідею економії виробництва. Він каже директору: олівці все одно ніхто до кінця не дописує. Так давайте не будемо повністю отвір в корпусі олівця заповнювати графітом – десь так на один-два сантиметри. Уявляєте, яка економія буде. Молодець, сказав директор, тільки у мене виникла ще краща ідея – раз на одному кінці олівця немає графіту, то давайте скоротимо олівець якраз на ту частину, де немає графіту. Так ось, дещо подібне ми проробимо з трубою, в яку зайшла мишка – просто будемо відкидати з розрахунків певну частину, в якій знаходиться мишка (звичайно, це жарт, але, це, по суті, є гумористичний виклад теореми Гауса, про яку будемо говорити в теорії гравітаційного поля. Отже, мишка зайшла в трубу на відстань х (рис.2.3.12)

Цей відрізок труби (заштрихована частина), який залишився позаду мишки, буде «тягнути» її до себе. Але зліва від мишки знайдеться точно такий самий відрізок труби, який точно з такою самою силою «тягне» мишку до себе. Рівнодійна цих двох сил дорівнює нулю, тому для мишки, з точки зору гравітаційної взаємодії, відрізка труби довжиною 2х не існує (зображено жовтим кольором) і цей відрізок труби в подальших розрахунках можна до уваги не брати – чи не подібно на історію про олівець, який скоротили, де немає графіту. Далі мишка просувається все ближче до центра і, як видно з рисунку, активна частина труби, яка притягає до себе мишку, все більше скорочується, все більше частини стає жовтою і коли мишка буде в центрі труби справа і зліва сили гравітаційної взаємодії стануть однакові – результуюча сила дорівнюватиме нулю.

А тепер знайдемо залежність сили гравітаційної взаємодії між трубою і мишкою по мірі просування її всередині труби (рис.2.3.12). Знову ж таки, для спрощення задачі мишку вважаємо матеріальною точкою, а трубу тонким однорідним стержнем, в який зуміє через нескінченно вузький отвір пролазити матеріальна точка – мишка. Як вже було сказано, мишка зайшла в трубу на відстань х і тепер на неї буде діяти відрізок труби довжиною l-2x масою . Тому у формулі 2.3.5…. замість маси m₁ всієї труби необхідно підставити саме цю масу. Але коли труба стала коротша на 2х, то її центр має зміститися вліво на х. Виходить цікава «штука» – мишка заходить в трубу на відстань х і центр мас труби зміщається теж на відстань х так, що відстань між мишкою і центром мас труби завжди становитиме . Тому, якщо раніше мишка лише наближалась до труби і відстань а між нею і центром маси туби змінювалась, то тепер ця відстань буде завжди сталою . Отже, враховуючи вказані поправки, залежність сили гравітаційної взаємодії між трубою і мишкою по мірі просування всередину труби прийме наступний вигляд:

. (2.3.19)

Отже, всередині труби сила тяжіння змінюється за лінійним законом, зменшуючись від сили , коли точка (мишка) знаходиться на кінці труби (х=0) до нуля при .

Таку характерну залежність сили тяжіння від відстані ілюструє наступний графік (рис 2.3.13).

При наближенні мишки до труби (при зменшенні відстані а сила гравітаційної взаємодії зростає за законом (ділянка 2-1) і досягає максимального значення при . Далі починає діяти інший – лінійний закон, сила гравітаційної взаємодії зменшується до нуля в центрі труби. Потім спостерігається аналогічна залежність – від центра до лівого кінця труби маємо лінійне зростання сили тяжіння, після чого, вийшовши з труби, сила гравітаційної взаємодії зменшується. Такий розгляд гравітаційної взаємодії, при якому одне тіло знаходиться в іншому, коли відкидається непотрібна частина тіла, буде особливо корисним при подальшому розгляді гравітаційного поля тіла сферичної форми, конкретно планети ЗЕМЛЯ. З дією сили тяжіння Землі на тіла, що знаходяться на ній, пов’язана така фізична величина як вага тіла.