- •6.040103 – «Геологія»
- •1 Кінематика
- •1.1 Кінематика матеріальної точки
- •Система відліку
- •1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки
- •1.1.3 Рівномірний рух. Швидкість рівномірного руху
- •1.1.4 Нерівномірний рух. Середня швидкість. Миттєва швидкість
- •1.1.5 Рівнозміний рух. Прискорення. Змінний рух. Миттєве прискорення
- •1.1.6 Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення
- •Абсолютно тверде тіло та число ступенів його свободи
- •1.3 Кінематика обертального руху твердого тіла
- •1.3.1 Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання. Вектор кутового переміщення. Кутова швидкість. Кутове прискорення.
- •1.3.2. Зв'язок між кутовими і лінійними кінематичними величинами обертального руху
- •1.4 Кінематика відносного руху. Переносне прискорення. Прискорення каріоліса
- •1. Чим більша відстань від центра обертання, тим більша лінійна швидкість обертання. Тобто, маємо зміну швидкості, викликану лише переміщенням точок .
- •1.5 Короткий зміст основних питань кінематики
- •4. Способи опису руху матеріальної точки:
- •6. Миттєва швидкість
- •7. Рівнозмінний рух. Прискорення.
- •8. Змінний рух. Середнє прискорення. Миттєве прискорення.
- •9. Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення.
- •10. Поступальний рух тіла.
- •11. Обертальний рух тіла.
- •16. Кутове прискорення.
- •17. Зв'язок між лінійними і кутовими кінематичними величинами обертового руху.
- •3. Одна пряма рухається паралельно сама собі з швидкістю v1, а друга – зі швидкістю v2.. Питання: з якою швидкістю v3 рухається точка перетину цих прямих?
- •2.Задачі на рівно змінний рух
- •1. Автомобіль проходить гальмівний шлях 20 м. Визначити час руху автомобіля до зупинки та модуль прискорення, якщо початкова швидкість 54 км/.
- •3. Град, падаючи з хмари за останню секунду свого падіння пролітає шлях, що становить 0,19 всієї висоти. Визначити час падіння та висоту, з якає падає град. Опором повітря нехтувати.
- •3 Рух тіла, кинутого горизонтально
- •4 Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
- •5.Задачі на середню і миттєву швидкість та миттєве прискорення
- •2. Першу половину часу автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину часу з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •3. Першу половину шляху автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину шляху з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •6.Задачі кінематики обертального руху
- •1. Колесо починає обертатись зі стану спокою і, зробивши 100 обертів, досягає кутової швидкості 62,8 рад/с. Вважаючи рух рівноприскореним, визначити час та кутове прискорення даного обертового руху.
- •4. У вибраній системі відліку з декартовими координатами кінематичні рівняння матеріальної точки мають наступний вигляд:
- •5. Задача-тест.
- •1.7 Контрольні питання з кінематики
- •2 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони ньютона. Сили в механіці. Гравітація
- •2.1 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони Ньютона
- •2.2 Сили в природі. Сили в механіці
- •2.2.1 Сили тертя
- •2.2.2 Сили пружності
- •2.3 Гравітація
- •2.3.1 Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння
- •3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісей їх орбіт:
- •2.3.2 Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша
- •2.3.3 Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •4 Гравітаційне поле. Напруженість гравітаційного поля
- •5 Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса
- •6 Гравітаційне поле Землі (поле тіла сферичної форми)
- •7 Аномалії гравітаційного поля Землі. Поняття про гравітаційну
- •2.4 Рух тіл в полі тяжіння. Вага тіла. Невагомість. Штучні супутники
- •2.4.1 Вага тіла
- •2.4.2 Рух тіла у полі тяжіння у вертикальному напрямі. Перевантаження. Невагомість
- •2.4.3 Криволінійний рух тіла у полі тяжіння
- •2.4. 4 Вплив обертання Землі на вагу тіл
- •1 Тіло на полюсі
- •2 Тіло на екваторі
- •3 Тіло на довільній широті
- •5 Штучні супутники Землі
- •2.6 Короткий зміст основних питань динаміки
- •3. Сили в природі. Сили в механіці.
- •4. Сили тертя.
- •5. Сили пружності.
- •6. Закони Кеплера.
- •Планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (рис.2.4.2).
- •7. Закон Всесвітнього тяжіння
- •8. Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша.
- •9. Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •10. Гравітаційне поле
- •10. Вага тіла
- •1. Потік вектора
- •2.7 Приклади розвязування задач
- •1. Рух тіла в горизонтальному напрямі під дією декількох сил
- •2. Дано:
- •5. Рух тіла під дією змінної сили.
- •6. Рух тіла по похилій площині
- •7. Динаміка руху тіла по колу
- •Випадок руху тіла по колу у вертикальній площині – рух тіла на нитці.
- •10. Який період обертання у горизонтальній площині тіла, підвішеного на нитці довжиною l, якщо нитка утворює з вертикаллю кут α?
- •8. Закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційне поле
- •1 Визначити силу притягання між тонким кільцем радіуса r і масою м та матеріальною точкою масою m, яка знаходиться на відстані l від центра кільця.
- •2. Матеріальна точка масою m знаходиться на віддалі a від нескінченно довгої тонкої нитки з лінійною густиною . Визначити силу, з якою притягаються така нитка і тіло точкової маси.
- •2.7 Контрольні питання з динаміки
- •3. Закони збереження в механіці
- •3.1 Закон збереження імпульсу
- •3.2 Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3.3 Реактивний рух
- •3.4 Реактивний рух в природі. Живі ракети
- •3.5 Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •3.6 Енергія. Загальний підхід до поняття енергії
- •3.7 Кінетична енергія матеріальної точки (тіла) при поступальному русі
- •3.8 Робота сил тяжіння. Потенціальна енергія тіла в полі тяжіння
- •3.9 Закон збереження енергії в механіці
- •3.10 Застосування законів збереження до співудару двох тіл
- •3.11 Основні напрями альтернативної енергетики
- •1. Вітроенергетика
- •2. Геліоенергетика
- •3. Геотермальна енергетика
- •1. Вітроенергетика
- •2. Альтернативна гідроенергетика
- •3.12 Короткий зміст основних питань законів збереження в механіці
- •1. Закон збереження імпульсу
- •2. Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3. Реактивний рух
- •4. Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •5. Енергія. Кінетична і потенціальна енергія
- •6. Закон збереження енергії в механіці.
- •3.13 Приклади розв’язування задач
- •1. Імпульс. Закон збереження імпульсу
- •1. М’ячик масою 200 г вільно падає з висоти 5м на горизонтальну поверхню. Вважаючи удар абсолютно пружним, визначити зміну імпульсу при такому ударі (рис.3.13.1).
- •3. Два тіла рухаються назустріч одне одному з швидкостями . Після абсолютно непружного удару ці тіла стали рухатись разом з швидкістю . Визначити відношення мас цих тіл.
- •4. З самохідної гарматної установки загальною масою 8 т вистрілюють снаряд масою 5 кг зі швидкістю 1200 м∕ с під кутом 600 до горизонту. Визначити швидкість віддачі установки.
- •3.14 Контрольні питання
- •4 Динаміка обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.1 Кінетична енергія обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •4.2 Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.3 Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4.4 Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •3. Момент інерції однорідного диска або циліндра
- •4. Момент інерції конуса
- •5. Момент інерції однорідної суцільної кулі
- •6. Момент інерції тонкостінної сфери
- •4.5 Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •4.6 Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •4.7 Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.8 Короткий зміст основних питань динаміки обертового руху твердого тіла
- •Кінетична енергія обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла
- •3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4. Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •5. Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.9 Приклади розв’язування задач
- •2. Перевірка основного рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання.
- •5.2 Рівняння Бернуллі
- •5.3 Наслідки з рівняння Бернуллі
- •5.3.1 Швидкість витікання рідини через невеликий отвір
- •5.3.2 Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії
- •5.3.3 Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці
- •5.4 Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість)
- •5.5 Течія Пуазейля. Формула Пуазейля
- •5.6 Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •5.7 Елементи реології
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи
- •2 Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3 Метод Стокса
- •5.8 Короткий зміст основних питань механіки рідин і газів
- •8. Наслідки з рівняння Бернуллі.
- •2. Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії.
- •3. Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці.
- •4. Природні явища, де мають місце наслідки з рівняння Бернуллі.
- •9. Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість).
- •10. Течія Пуазейля. Формула Пуазейля.
- •11. Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •12. Елементи реології.
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи.
- •Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •1. Капілярні віскозиметри
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3. Метод Стокса
- •5.9 Приклади розв’язування задач
- •1. Швидкість течії води у широкій частині труби дорівнює 20 см ∕с. Яка швидкість течії у вузькій частині, що має діаметр у 4 рази менший від діаметра широкої частини?
- •2 . З отвору площею поперечного перерізу зі швидкістю у вертикальному напрямі витікає струмина рідин. Якою буде площа поперечного перерізу струмини на висоті ?
- •6 Механічні властивості твердих тіл
- •6.1 Основні види пружних деформацій твердого тіла
- •1. Одностороння деформація розтягу (стиснення).
- •2. Деформація зсуву.
- •3. Деформація кручення.
- •4. Деформація прогину.
- •5. Деформація стиснення (або розтягу).
- •6.2 Твердість тіл
10. Вага тіла
Вагою тіла називають силу, з якою тіло унаслідок його тяжіння до Землі діє на горизонтальну опору або на підвіс і вимірюється в одиницях сили (в ньютонах). Розглядаються окремі випадки.
Тіло на горизонтальній опорі (підставці).
Якщо опора в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху, то вага тіла або реакція опори дорівнює силі тяжіння
. (2.6.10)
При русі з прискоренням у вертикальному напрямі вгору
. (2.6.11)
При русі вниз
. (2.6.12)
У випадку наступає невагомість.
Динаміка руху тіла по колу.
При русі тіла по колу радіуса існує нормальне (доцентрове) прискорення .
1. Якщо рух тіла по колу відбувається у вертикальній площині, то у верхній точці вага (реакція опори) цього тіла дорівнює
). (2.6.13)
Наприклад, автомобіль у верхній точці випуклого моста. У нижній точці реакція опори становить
. (2.6.14)
2. При русі по колу у горизонтальній площині реакція опори не буде перпендикулярною до цієї площини. Наприклад, велосипедист чи мотоцикліст, рухаючись по колу, відхиляться від вертикального напряму. При цьому реакція опори дорівнює
, (2.6.15)
а кут нахилу до горизонталі визначається співвідношенням
. (2.6.16)
3. На прикладі руху велосипедиста по треку з нахилом було показано, що для заданої швидкості кут «підбирають» так, щоб реакція опори була перпендикулярною до похилої площини, і тоді
. (2.6.17)
Вплив обертання Землі на вагу тіл
1. Тіло, що знаходиться на полюсі Землі не приймає участь в обертовому русі. Отже, вага P1 тіла або реакція опори N1 на полюсі Землі дорівнює силі тяжіння F
(2.6.18)
Для обертання тіла з кутовою швидкістю по колу радіуса необхідна сила, що забезпечує нормальне (доцентрове) прискорення . При обертання Землі всі тіла, які знаходяться на її поверхні «забирають» для цього частину сили тяжіння F, що зумовлює зменшення ваги тіл.
2. Тіло масою на екваторі. У цьому випадку від сили тяжіння F просто віднімається необхідна сила , і тому вага тіла P2 або реакція опори N2 дорівнює:
3. Якщо тіло не на екваторі, а на довільній географічній широті , то обертання відбувається по колу радіуса і для надання тілу масою доцентрового прискорення на даній географічній широті необхідна сила
. (2.6.19)
Як видно з рис. , ця сила буде складовою сили тяжіння, а друга складова визначає вагу тіла або реакцію опори, на якій знаходиться тіло. За теоремою косинусів отримуємо:
. (2.6.20)
У тексті посібника наведені такі приклади. Вага тіла масою 1 кг на полюсі становить 9,81 Н, на екваторі 9,77 Н, а на широті 500 (широта України) 9,79 Н і напрям ваги тіла складає кут з геометричним напрямом до центра Землі.
Штучні супутники Землі.
1. Штучний супутник – тіло, яке технічними засобами виведене на орбіту навколо Землі.
2. Перша космічна швидкість (низькі орбіти) – це швидкість, яку необхідно надати тілу, щоб воно рухалось по круговій орбіті радіусом, рівним радіусу Землі або іншого небесного тіла, і вона для планети масою М та радіуса R обчислюється за формулою
, (2.6.21)
і для Землі вона становить 7,9 км ∕ с.
3. Високі орбіти. Для виведення супутника на кругову орбіту, яка віддалена від поверхні Землі на висоту h необхідна швидкість
. (2.6.21)
На високих орбітах знаходяться практично всі штучні супутники та орбітальні космічні станції. Останнім часом широкого практичного застосування набули супутники на геоцентричних орбітах. На геоцентричній орбіті супутник «висить» нерухомо над поверхнею Землі, так як період його обертання дорівнює періоду обертання Землі.
Гравітаційне поле. Напруженість гравітаційного поля
Питання природи гравітації дуже складне. Згідно загальної теорії відносності Ейнштейна, гравітація зумовлена викривленням простору-часу. Але для математичного опису гравітаційної взаємодії тіл достатньо ввести поняття гравітаційного поля – особливого виду матерії, що здійснює цю взаємодію. Силовою характеристикою гравітаційного поля є напруженість, яка визначається відношенням сили , що діє на матеріальну точку масою , поміщену у дану точку поля, до маси цієї точки. Напруженість гравітаційного поля дорівнює прискоренню вільного падіння у даній точці гравітаційного поля
. (2.6.22)
Таким чином, гравітаційне поле – векторне поле, де кожна його точка характеризується вектором напруженості.
Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса.
Гравітаційне поле – векторне поле, де кожна його точка характеризується вектором напруженості. Математичною мовою гравітаційного поля є відповідний розділ математики під назвою «Елементи теорії векторного поля», який встановлює найбільш загальні властивості такого поля, не розглядаючи природи самого поля. Тому буде доцільним коротко зупинитись на окремих положеннях та теоремах векторного поля.