6 Гравітаційне поле Землі (поле тіла сферичної форми)

Гравітаційне поле Землі, як і гравітаційне поле будь якого тіла, знаходиться за принципом суперпозиції. Тобто, вектор результуючої напруженості дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створюваних всіма елементами даного тіла

. (2.3.39)

Т ому спочатку розглянемо поле однієї точкової маси, яку охопимо довільною замкнутою поверхнею і визначимо потік вектора через цю поверхню (рис 2.3.19). Цей потік, згідно 2.3.36, дорівнює

, (2.4.16)

де знак «мінус» вказує на те, що лінії напруженості гравітаційного поля входять у поверхню. Спроектувавши елемент поверхні на перпендикулярний (нормальний) напрям до вектора будемо мати

. (2.3.40)

Користуючись поняттям тілесного кута, як відношенням елемента площі сфери до її квадрату радіуса , площа виділеного елементу буде дорівнювати тому

(2.3.41)

Так як напруженість гравітаційного поля точкової маси на відстані становить і значення тілесного кута може змінюватись від нуля до стерадіан, то

. (2.3.42)

Отриманий вираз є теоремою Гауса для гравітаційного поля і ця теорема стверджує, що потік вектора напруженості гравітаційного поля через довільну зімкнуту поверхню не залежить від форми поверхні, а лише визначається масою тіла, яка знаходиться всередині даної поверхні

Якщо замкнута поверхня охоплює систему точок, то, згідно принципу суперпозиції, у виразі 2.3.41 необхідно враховувати сумарну масу

. (2.3.43)

А тепер найбільш загальний випадок – замкнута поверхня охоплює тіло масою m, де його густина в різних точках неоднакова.

У такому випадку виділяємо такий малий елемент тіла об’ємом , що в межах цього елемента густину вважати однаковою. Тоді маса такого елементарного об’єму буде становити

. (2.3.44)

Вся маса тіла дорівнює інтегральній сумі таких елементарних мас, тобто інтегралу

, (2.3.45)

де інтегрування проводиться по всьому об’єму тіла. Тоді теорема Гауса у такому загальному випадку прийме наступний вигляд

. (2.3.46)

Тепер, вже згідно теореми Остроградського – Гауса бачимо, що дивергенція вектора напруженості гравітаційного поля у даній точці визначається густиною тіла у цій же точці, тобто

. (2.4.47)

Користуючись наведеними елементами теорії векторного поля легко розрахувати гравітаційне поле Землі, вважаючи його симетричним. Спочатку визначимо напруженість поля на відстані від поверхні Землі, тобто на відстані від її центра, де радіус Землі. Якщо охопити Землю сферою радіуса (рис.2.3.20), то потік вектора напруженості гравітаційного поля через цю поверхню площею дорівнює

. (2.3.48)

І, згідно теореми Гауса, цей потік визначається масою тіла, що знаходиться всередині цієї поверхні, у даному випадку маси Землі тобто

(2.3.49)

Звідки отримуємо, що напруженість гравітаційного поля Землі на відстані визначається раніше відомою формулою напруженості поля точкової маси

. (2.3.50)

Т обто, при таких відстанях дія гравітаційного поля Землі еквівалентна дії точкової маси, рівної маси Землі, зосередженої в її центрі.

А яка напруженість всередині Землі, наприклад на відстані ? Для цього необхідно розрахувати гравітаційне поле тіла масою в об’ємі сфери радіуса . Об’єм такої сфери дорівнює . (2.3.51)

Якщо густина Землі , то маса виділеної сфери становить . (2.3.52)

І ця маса на відстані створює гравітаційне поле напруженості яку треба визначити. Потік вектора цієї напруженості через сферичну поверхню такої виділеної сфери радіуса дорівнює

(2.3.53)

І, згідно теореми Гауса, цей потік дорівнює

, (2.3.54)

звідки

. (2.3.55)

Знову отримали подібний результат – дія виділеного сферичного об’єму еквівалентна дії точкової маси, зосередженої у центрі такої сфери. Залишається визначити масу виділеної сфери. Так як густина Землі

, (2.3.56)

то, згідно (2.4.3.13),

. (2.3.57)

Підставивши це значення маси в ( ), отримаємо

. (2.3.58)

Тобто, напруженість всередині Землі змірюється за лінійним законом –зростаючи від нуля у центрі Землі до значення напруженості на її поверхні (лінійна ділянка графіка на рис. 2.3.20). За межами поверхні Землі напруженість зменшується за законом .

Отриманий результат справедливий не тільки Землі як тіла сферичної форми, але і будь-якого іншого однорідного сферичного тіла.