2. Матеріальна точка масою m знаходиться на віддалі a від нескінченно довгої тонкої нитки з лінійною густиною . Визначити силу, з якою притягаються така нитка і тіло точкової маси.
В принципі, така задача розв’язується методом знаходження векторної інтегральної суми сил від всіх елементів нитки з матеріальною точкою на відстані a. Але у даному випадку розв’язування значно спрощується застосуванням теореми Гуса для потоку вектора напруженості гравітаційного поля. Спочатку, визначивши напруженість поля g, легко визначити силу, що діє на матеріальну точку масою m, яка знаходиться саме у даній точці поля:
.
(2.7.53)
Г
равітаційне
поле нитки симетричне, силові лінії
якого є радіальні прямі. Для застосування
теореми Гауса виберемо замкнуту поверхню
у вигляді циліндра, вісь якого співпадає
з ниткою, як вказано на рисунку 2.7.12.
Маса, яка знаходиться всередині такої поверхні – це маса нитки довжиною і цю масу визначаємо через лінійну густину нитки:
(2.7.54)
Тоді, згідно теореми Гауса, потік вектора напруженості гравітаційного поля через дану поверхню дорівнює:
.
(2.7.55)
Для даної циліндричної поверхні потік вектора напруженості гравітаційного поля буде потоком лише через бічну поверхню циліндра (силові лінії поля не пересікають основи циліндра)
.
(2.7.56)
Таким чином
.
(2.7.57)
Визначивши напруженість гравітаційного, вже легко знайти шукану силу, що діє на матеріальну точку у даному полі:
.
(2.7.58)
Іншим прикладом застосування теореми Гауса був розрахунок гравітаційного поля Землі. Раніше було показано, що всередині Землі, як однорідного сферичного тіла, напруженість поля змінюється за лінійним законом. Тому буде цікавим розглянути наступну задачу про рух тіла в такому полі.
4. Уявіть що в Землі зробили діаметральний отвір (свердловин,), як це показано на рисунку. В цей отвір впало тіло. Описати характер руху тіла у такій свердловині. Вважати, що сили опору при русі тіла відсутні.
У напрямі осі ОХ напруженість поля змінюється за законом
,
(2.7.59)
т
обто,
напрям вектора
протилежний напряму осі ОХ. Такий самий
протилежний напрям буде мати сила, що
діє на тіло масою
в цьому полі
.
(2.7.60)
Під дією цієї сили тіло набуває прискорення, миттєве значення якого дорівнює:
.
(2.7.61)
І тоді,
згідно другого закону Ньютона
,
можна записати:
,
(2.7.62)
Або
.
(2.7.63)
Отримали диференціальне рівняння, розв’язком якого є функція, яка описує гармонічні коливання
,де
(2.7.64)
А –
амплітуда коливань, максимальне зміщення
від положення рівноваги,
початкова фаза коливань,
– циклічна
або кругова частота, яка визначається
через період Т коливань співвідношенням
і розв’язок диференціального дає,
що:
,
(2.7.65)
.
(2.7.66)
Тут
спеціально під коренем видозмінений
вираз
,
так як
.
(2.7.67)
Отже,
,
тобто отримали формулу періоду коливань
математичного маятника У даному випадку
це значить, що тіло, яке впущене у
діаметральний отвір в Землі, буде
здійснювати коливання з періодом, рівним
періоду коливань математичного маятника
довжиною радіуса Землі. Підрахуємо цей
період:
або 1,4 години. І так уявіть, якщо Ви
випустили у такий діаметральний отвір
камінь, то він повернеться до Вас через
1,4 години.
Що
стосується амплітуди таких коливань,
то, очевидно, що вона дорівнює радіусу
Землі. Залишається визначити початкову
фазу
коливань, яка визначає положення тіла
в момент часу
.
Коли в цей момент
,
Ви відпустили камінь (чи інший предмет),
то відносно початку відліку центра
Землі він має координату х=R.
Отже, тоді рівняння прийме вигляд:
.
(2.7.68)
Враховуючи отримані значення періоду та амплітуди коливань а також початкової фази, тіло впущене в діаметральний отвір в Землі буде здійснювати гармонічні коливання за законом
.
(2.7.69)