5.2 Рівняння Бернуллі

Основне рівняння динаміки матеріальної точки або тіла при поступальному русі – це другий закон Ньютона. Якщо описувати рух рідин чи газів методом Лагранжа, то для кожної частинки рідини чи газу необхідно застосовувати другий закон Ньютона. Уявіть, скільки для цього потрібно рівнянь. Значно простіше застосовувати метод Ейлера. Стосовно динаміки, цей метод вже не вимагає визначення сили на кожну частинку рідини чи газу, а користується поняттям тиску, так як саме тиск (точніше різниця тисків) зумовлює зміну швидкості, отже, і зміну кінетичної енергії виділеного об’єму рідини чи газу. Тому для опису динаміки рідин і газів зручно застосовувати енергетичний підхід до такого опису – визначити як зміниться механічна енергія виділеного об’єму рідини за рахунку роботи сил тиску або сил тяжіння. Такий енергетичний підхід до поставленої задачі ілюструє рис.5.2.1.

Маємо довільну трубку течії. На рисунку – це буквальна труба довільної форми повністю заповнена рідиною і закрита краном – рідина не витікає. За допомогою манометрів М₁ та М₂ можна виміряти тиск всередині рідини у різних поперечних перерізах трубки. При закритому крані тиск всередині рідині в усіх перерізах однаковий. Перший та другий манометри показують, як вказано на рисунку, однакові тиски. Дійсно, якщо до поперечного перерізу

як до поршня площею прикладена сила , то значення тиску становитиме величну, рівну відношенню і, згідно закону Паскаля, такий тиск у рідині чи газі передається в усі напрями без змін. Отже, до іншого поперечного перерізу прикладена сила , cстворюючи такий самий тиск:

. (5.2.1)

(Строго кажучи, покази другого манометра будуть дещо більшими, ніж першого за рахунок різниці гідростатичних тисків ).

А тепер відкриємо кран – перейдемо від гідростатики до гідродинаміки. При цьому навіть при горизонтальному розташуванні трубки течії (при однакових гідростатичних тисках) покази першого і другого манометрів вже не однакові. В місцях меншого перерізу швидкість рідини зростає, рідина набуває прискорення і тому в напрямі збільшення швидкості у напрямі зменшення поперечного перерізу трубки течії рідини тиск зменшується.

За достатньо малий проміжок часу змішення частинок рідини можна вважати настільки малими, що виділені елементи рідини у трубці течії мають циліндричну форму (рис.5.2.1.2) так що їх об’єм становить . Враховуючи, що

, , (5.2.2)

де та – швидкості рідини у відповідних перерізах трубки течії отримаємо, що об’єм виділеного елементу рідини дорівнює:

. (5.2.3)

При густині рідини, що заповнює трубку течії маса виділеного елементу становить

. (5.2.4)

Повна механічна енергія елементу такої маси дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергій. У першому поперечному перерізі вона дорівнює

, (5.2.5)

а в другому

. (5.2.6)

Приріст повної механічної енергії виділеного елемента відбувається за рахунок роботи зовнішніх сил виконаних при переміщенні виділеного об’єму рідини. Так, під дією сили прикладеної до поперечного перерізу, як до поршня площею , за час відбудеться переміщення на і тоді робота такої сили дорівнює

. (5.2.7)

Робота сили , яка має протилежний напрям переміщення рідини у другому поперечному перерізу становить

. (5.2.8)

Отже,

. (5.2.9)

Враховуючи, що , а

отримаємо

(5.2.10)

Перерізи та в трубці течії вибрані довільно. Тому можна стверджувати, що у будь-якій точці перерізу трубки течії вираз має однакове значення.

Отриманий результат можна сформулювати наступним чином: у стаціонарній течії ідеальної рідини вздовж будь якої лінії течії виконується умова

. (5.2.11)

Рівняння 5.2.10 або рівнозначне йому рівняння 5.2.11 вперше було отримане шведським математиком і фізиком Даніелем Бернуллі (1700-1782рр.) і називається рівнянням Бернуллі. В це рівняння входять значення трьох тисків, сума яких для встановленого режиму течії ідеальної рідини є величина стала. Розглянемо фізичний зміст цих тисків

– статичний тиск, тиск всередині рідини;

– тиск напору струмини рідини (динамічний тиск);

– гідростатичний або ваговий тиск, тиск нерухомого стовпчика рідини висотою .

Про наслідки з рівняння Бернуллі, про те як зміна швидкості приводить до збільшення динамічного тиску і, відповідно, до зменшення статичного тису буде сказано пізніше. Але рівняння Бернуллі, як видно з його виводу, є виразом закону збереження і перетворення енергії для встановленого режиму течії ідеальної рідини. Тому з енергетичної точки зору рівняння Бернуллі записують як суму питомих енергій рідини. Питома енергія тіла – це його енергія, віднесена до одиниці маси. Наприклад, розділивши значення динамічного тиску на густину рідини отримаємо питому кінетичну енергію рідини при даній швидкості , у чому легко переконатись з аналізу одиниць вимірювань:

. (5.2.10)

Аналогічно, розділивши значення статичного та гідростатичного тиску на густину рідини , тримаємо відповідні значення питомих енергій зумовлених цими тисками. Отже, ввівши поняття питомої енергії, рівняння Бернуллі у значеннях питомої енергії рідини у різних частинах струмини течії прийме наступний вигляд:

. (5.2.11)

Таким чином, у стаціонарній течії ідеальної рідини вздовж будь-якої лінії течії сума питомих енергій рідини є величина стала.

Рівняння Бернуллі достатньо задовільно виконується і для реальних рідин та газів, якщо в них внутрішнє тертя досить мале, а зміною об’єму газів при незначних змінах тиску можна нехтувати. Тому доцільно розглянути окремі приклади та наслідки застосування рівняння Бернуллі.