4. Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера

Для того, щоб математично визначити момент інерції будь-якого тіла, його розбивають на такі малі елементи масою , щоб вважати їх матеріальними точками з елементарним моментом інерції . Тоді загальний момент інерції тіла дорівнює інтегральній сумі

Т ак, застосовуючи такий принцип, як приклад наводиться вивід і результати моментів інерції наступних тіл:

1. Однорідний стержень довжиною і масою обертається відносно осі, що проходить через його кінець, як вказано на рисунку

2. Тонкостінний циліндр або тонке кільце

(вісь обертання проходить через центр мас і перпендикулярна поперечному перерізу циліндра).

3. Однорідний суцільний циліндр або диск

(вісь обертання проходить через центр мас і перпендикулярна поперечному перерізу циліндра).

4. Суцільний однорідний конус

(вісь обертання проходить через висоту конуса).

5. Суцільна однорідна куля

(вісь обертання проходить через центр кулі).

6. Тонкостінна сфера

7. Теорема Штейнера

Якщо відомий момент інерції тіла масою відносно осі обертання ОО, яка проходить через центр маси тіла (точка С), то момент інерції цього тіла відносно паралельної осі на відстані дорівнює

.

5. Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла

Віссю обертання, положення якої у просторі у відсутності зовнішніх сил залишається незмінним, називається вільною віссю обертання тіла.

Для тіла довільної форми з довільним розподілом мас існують три взаємно перпендикулярні осі, які проходять через центр мас тіла, і ці осі можуть бути вільними осями і у даному випадку їх називають головними осями інерції.

Для однорідного паралелепіпеда головними осями інерції будуть, очевидно, осі О₁О₁, О₂О₂, О₃О₃, які проходять через центри протилежних граней.

Моменти інерції відносно головних осей інерції називають головними моментами інерції тіла.

У загальному випадку ці моменти інерції різні . Для тіла з осьовою симетрією два головних моменти інерції мають однокове значення, третій відмінний від них . І, нарешті, у випадку тіла з центральною симетрією всі три головних моменту інерції однакові: .

Найбільш стійким положенням при обертанні тіла є його обертання відносно осей, які відповідають максимальному і мінімальному значенню моменту інерції цього тіла.

Якщо тіло обертається не відносно головних моментів інерції, то у даному випадку момент інерції такого тіла визначається сукупністю дев’ятьох величин, які утворюють тензор інерції: