Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Фізика. Конспект лекцій 2010.doc
Скачиваний:
85
Добавлен:
24.08.2019
Размер:
108.6 Mб
Скачать

4.2 Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання

Як вже раніше говорилось, для опису динаміки обертального руху твердого тіла можна використовувати ІІ закон Ньютона для кожної точки тіла. Але є значно простіший інший метод, який базується на енергетичних співвідношеннях. А саме, до тіла в деякій точці прикладемо силу , яка буде „крутити” тіло і виконана робота піде на збільшення кінетичної енергії обертання цього тіла. Математично описуючи це явище, отримаємо відповідні динамічні співвідношення. Така ідея виводу.

Розглянемо тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі, яка проходить через точку і перпендикулярна до площини (рис.4.2.1). У точці на відстані прикладена сила , що обертає це тіло.

Сила може змінюватись за величиною і напрямом. Тому розглянемо таке мале переміщення , точки прикладання сили, щоб її вважати сталою, тоді елементарна робота цієї сили дорівнює:

. (4.2.1)

При обертальному русі для всіх точок тіла є однаковими кутові кінематичні величини, тому враховуючи, що , будемо мати:

. (4.2.2)

Опустивши перпендикуляр на напрям, маємо, що довжина цього перпендикуляру дорівнює:

. (4.2.3)

Ця найкоротша відстань від осі обертання тіла до напряму дії сили отримала назву момент сили , а добуток сили на плече називається моментом сили:

. (4.2.4)

Треба зауважити, що при такому означенні моменту сили маємо на увазі момент сили відносно нерухомої осі і такий момент сили є скалярною величиною.

Ввівши поняття моменту сили, вираз елементарної роботи прийме вигляд:

. (4.2.5)

За рахунок цієї роботи змінюється кінетична енергія обертального руху даного тіла

. (4.2.6)

Враховуючи, що , а , то

. (4.2.7)

Так як , то

(4.2.8)

або .

Отримали рівняння, яке називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання у скалярній формі.

Кутове прискорення тіла при його обертальному русі відносно нерухомої осі обертання пропорційне прикладеному до цього тіла моменту сили і обернено пропорційне моменту інерції цього тіла.

Якщо порівняти це рівняння з ІІ законом Ньютона, то бачимо, що замість лінійного прискорення маємо кутове прискорення , замість сили , момент сили , а роль маси грає момент інерції тіла . Отже, момент інерції тіла є мірою інертності тіла при його обертальному русі відносно зміни кутової швидкості.

Т ак, як кутове прискорення вектор, то в динаміці обертального руху момент сили, що надає кутового прискорення тілу теж повинен бути вектором. Ще раз звертаючись до рівнянь 4.2.3 та 4.2.4 бачимо, що плече сили – це просто відстань, а момент сили – добуток модуля сили на цю відстань. А тепер перейдемо до векторного опису динаміки обертового руху тіла. Як і у попередньому випадку, сила , прикладена у точці В, але у даному випадку ця точка прикладання сили визначається радіусом-вектором . Якщо здійснити паралельне перенесення вектора (на рисунку 4.2.2 це показано пунктиром), то бачимо, що – це кут між вектором сили і радіусом-вектором, який визначає точку прикладання сили. Тоді плече сили у рівнянні 4.8 можна виразити не через кут , а через кут :

, (4.2.9)

у результаті чого модуль моменту сили буде дорівнювати:

. (4.2.10)

Згадаємо елементарну векторну алгебру – скалярний добуток двох векторів визначається через косинус кута між ними, а модуль векторного добутку – через синус такого кута. Так що вираз 4.2.4 немає ніякого відношення до добутку векторів, адже у цьому виразі кут – це не кут між векторами, а кут між напрямом сили і переміщенням точки прикладання сили. Зовсім інша справа – співвідношення 4.2.10, де входить синус кута між векторами сили та радіуса-вектора, тобто це співвідношення не що інше, як модуль векторного добутку цих векторів. Тепер залишається вияснити, як записати векторний добуток: чи , адже від цього залежить напрям вектора моменту сили. Якщо для поступального руху тіла вектор його лінійного прискорення співпадає з напрямом вектора сили, то при обертовому русі тіла напрям кутового прискорення повинен визначатись напрямом вектора моменту сили. Якщо уважно розглянути рис.4.2.2б, де вказані напрями векторів кутового прискорення та моменту сили, то лише векторний добуток вигляду

(4.2.11)

задовольняє цій умові. Справді, користуючись правилом свердлика (правий гвинт), як вказано на цьому ж рисунку (позиція б), поступальний рух свердлика при даному напрямі обертання вказує напрям вектора моменту сили або можна застосувати правило правої руки (позиція г). Отже, у векторному виді основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла прийме наступний вигляд:

. (4.2.12)

Ввівши поняття моменту імпульсу, як буде показано далі, прийдемо до найбільш загального формулювання основного рівняння динаміки обертального руху у векторній формі.