- •6.040103 – «Геологія»
- •1 Кінематика
- •1.1 Кінематика матеріальної точки
- •Система відліку
- •1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки
- •1.1.3 Рівномірний рух. Швидкість рівномірного руху
- •1.1.4 Нерівномірний рух. Середня швидкість. Миттєва швидкість
- •1.1.5 Рівнозміний рух. Прискорення. Змінний рух. Миттєве прискорення
- •1.1.6 Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення
- •Абсолютно тверде тіло та число ступенів його свободи
- •1.3 Кінематика обертального руху твердого тіла
- •1.3.1 Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання. Вектор кутового переміщення. Кутова швидкість. Кутове прискорення.
- •1.3.2. Зв'язок між кутовими і лінійними кінематичними величинами обертального руху
- •1.4 Кінематика відносного руху. Переносне прискорення. Прискорення каріоліса
- •1. Чим більша відстань від центра обертання, тим більша лінійна швидкість обертання. Тобто, маємо зміну швидкості, викликану лише переміщенням точок .
- •1.5 Короткий зміст основних питань кінематики
- •4. Способи опису руху матеріальної точки:
- •6. Миттєва швидкість
- •7. Рівнозмінний рух. Прискорення.
- •8. Змінний рух. Середнє прискорення. Миттєве прискорення.
- •9. Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення.
- •10. Поступальний рух тіла.
- •11. Обертальний рух тіла.
- •16. Кутове прискорення.
- •17. Зв'язок між лінійними і кутовими кінематичними величинами обертового руху.
- •3. Одна пряма рухається паралельно сама собі з швидкістю v1, а друга – зі швидкістю v2.. Питання: з якою швидкістю v3 рухається точка перетину цих прямих?
- •2.Задачі на рівно змінний рух
- •1. Автомобіль проходить гальмівний шлях 20 м. Визначити час руху автомобіля до зупинки та модуль прискорення, якщо початкова швидкість 54 км/.
- •3. Град, падаючи з хмари за останню секунду свого падіння пролітає шлях, що становить 0,19 всієї висоти. Визначити час падіння та висоту, з якає падає град. Опором повітря нехтувати.
- •3 Рух тіла, кинутого горизонтально
- •4 Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
- •5.Задачі на середню і миттєву швидкість та миттєве прискорення
- •2. Першу половину часу автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину часу з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •3. Першу половину шляху автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину шляху з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •6.Задачі кінематики обертального руху
- •1. Колесо починає обертатись зі стану спокою і, зробивши 100 обертів, досягає кутової швидкості 62,8 рад/с. Вважаючи рух рівноприскореним, визначити час та кутове прискорення даного обертового руху.
- •4. У вибраній системі відліку з декартовими координатами кінематичні рівняння матеріальної точки мають наступний вигляд:
- •5. Задача-тест.
- •1.7 Контрольні питання з кінематики
- •2 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони ньютона. Сили в механіці. Гравітація
- •2.1 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони Ньютона
- •2.2 Сили в природі. Сили в механіці
- •2.2.1 Сили тертя
- •2.2.2 Сили пружності
- •2.3 Гравітація
- •2.3.1 Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння
- •3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісей їх орбіт:
- •2.3.2 Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша
- •2.3.3 Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •4 Гравітаційне поле. Напруженість гравітаційного поля
- •5 Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса
- •6 Гравітаційне поле Землі (поле тіла сферичної форми)
- •7 Аномалії гравітаційного поля Землі. Поняття про гравітаційну
- •2.4 Рух тіл в полі тяжіння. Вага тіла. Невагомість. Штучні супутники
- •2.4.1 Вага тіла
- •2.4.2 Рух тіла у полі тяжіння у вертикальному напрямі. Перевантаження. Невагомість
- •2.4.3 Криволінійний рух тіла у полі тяжіння
- •2.4. 4 Вплив обертання Землі на вагу тіл
- •1 Тіло на полюсі
- •2 Тіло на екваторі
- •3 Тіло на довільній широті
- •5 Штучні супутники Землі
- •2.6 Короткий зміст основних питань динаміки
- •3. Сили в природі. Сили в механіці.
- •4. Сили тертя.
- •5. Сили пружності.
- •6. Закони Кеплера.
- •Планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (рис.2.4.2).
- •7. Закон Всесвітнього тяжіння
- •8. Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша.
- •9. Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •10. Гравітаційне поле
- •10. Вага тіла
- •1. Потік вектора
- •2.7 Приклади розвязування задач
- •1. Рух тіла в горизонтальному напрямі під дією декількох сил
- •2. Дано:
- •5. Рух тіла під дією змінної сили.
- •6. Рух тіла по похилій площині
- •7. Динаміка руху тіла по колу
- •Випадок руху тіла по колу у вертикальній площині – рух тіла на нитці.
- •10. Який період обертання у горизонтальній площині тіла, підвішеного на нитці довжиною l, якщо нитка утворює з вертикаллю кут α?
- •8. Закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційне поле
- •1 Визначити силу притягання між тонким кільцем радіуса r і масою м та матеріальною точкою масою m, яка знаходиться на відстані l від центра кільця.
- •2. Матеріальна точка масою m знаходиться на віддалі a від нескінченно довгої тонкої нитки з лінійною густиною . Визначити силу, з якою притягаються така нитка і тіло точкової маси.
- •2.7 Контрольні питання з динаміки
- •3. Закони збереження в механіці
- •3.1 Закон збереження імпульсу
- •3.2 Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3.3 Реактивний рух
- •3.4 Реактивний рух в природі. Живі ракети
- •3.5 Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •3.6 Енергія. Загальний підхід до поняття енергії
- •3.7 Кінетична енергія матеріальної точки (тіла) при поступальному русі
- •3.8 Робота сил тяжіння. Потенціальна енергія тіла в полі тяжіння
- •3.9 Закон збереження енергії в механіці
- •3.10 Застосування законів збереження до співудару двох тіл
- •3.11 Основні напрями альтернативної енергетики
- •1. Вітроенергетика
- •2. Геліоенергетика
- •3. Геотермальна енергетика
- •1. Вітроенергетика
- •2. Альтернативна гідроенергетика
- •3.12 Короткий зміст основних питань законів збереження в механіці
- •1. Закон збереження імпульсу
- •2. Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3. Реактивний рух
- •4. Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •5. Енергія. Кінетична і потенціальна енергія
- •6. Закон збереження енергії в механіці.
- •3.13 Приклади розв’язування задач
- •1. Імпульс. Закон збереження імпульсу
- •1. М’ячик масою 200 г вільно падає з висоти 5м на горизонтальну поверхню. Вважаючи удар абсолютно пружним, визначити зміну імпульсу при такому ударі (рис.3.13.1).
- •3. Два тіла рухаються назустріч одне одному з швидкостями . Після абсолютно непружного удару ці тіла стали рухатись разом з швидкістю . Визначити відношення мас цих тіл.
- •4. З самохідної гарматної установки загальною масою 8 т вистрілюють снаряд масою 5 кг зі швидкістю 1200 м∕ с під кутом 600 до горизонту. Визначити швидкість віддачі установки.
- •3.14 Контрольні питання
- •4 Динаміка обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.1 Кінетична енергія обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •4.2 Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.3 Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4.4 Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •3. Момент інерції однорідного диска або циліндра
- •4. Момент інерції конуса
- •5. Момент інерції однорідної суцільної кулі
- •6. Момент інерції тонкостінної сфери
- •4.5 Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •4.6 Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •4.7 Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.8 Короткий зміст основних питань динаміки обертового руху твердого тіла
- •Кінетична енергія обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла
- •3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4. Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •5. Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.9 Приклади розв’язування задач
- •2. Перевірка основного рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання.
- •5.2 Рівняння Бернуллі
- •5.3 Наслідки з рівняння Бернуллі
- •5.3.1 Швидкість витікання рідини через невеликий отвір
- •5.3.2 Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії
- •5.3.3 Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці
- •5.4 Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість)
- •5.5 Течія Пуазейля. Формула Пуазейля
- •5.6 Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •5.7 Елементи реології
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи
- •2 Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3 Метод Стокса
- •5.8 Короткий зміст основних питань механіки рідин і газів
- •8. Наслідки з рівняння Бернуллі.
- •2. Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії.
- •3. Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці.
- •4. Природні явища, де мають місце наслідки з рівняння Бернуллі.
- •9. Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість).
- •10. Течія Пуазейля. Формула Пуазейля.
- •11. Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •12. Елементи реології.
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи.
- •Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •1. Капілярні віскозиметри
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3. Метод Стокса
- •5.9 Приклади розв’язування задач
- •1. Швидкість течії води у широкій частині труби дорівнює 20 см ∕с. Яка швидкість течії у вузькій частині, що має діаметр у 4 рази менший від діаметра широкої частини?
- •2 . З отвору площею поперечного перерізу зі швидкістю у вертикальному напрямі витікає струмина рідин. Якою буде площа поперечного перерізу струмини на висоті ?
- •6 Механічні властивості твердих тіл
- •6.1 Основні види пружних деформацій твердого тіла
- •1. Одностороння деформація розтягу (стиснення).
- •2. Деформація зсуву.
- •3. Деформація кручення.
- •4. Деформація прогину.
- •5. Деформація стиснення (або розтягу).
- •6.2 Твердість тіл
4.2 Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
Як вже раніше говорилось, для опису динаміки обертального руху твердого тіла можна використовувати ІІ закон Ньютона для кожної точки тіла. Але є значно простіший інший метод, який базується на енергетичних співвідношеннях. А саме, до тіла в деякій точці прикладемо силу , яка буде „крутити” тіло і виконана робота піде на збільшення кінетичної енергії обертання цього тіла. Математично описуючи це явище, отримаємо відповідні динамічні співвідношення. Така ідея виводу.
Розглянемо тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої осі, яка проходить через точку і перпендикулярна до площини (рис.4.2.1). У точці на відстані прикладена сила , що обертає це тіло.
Сила може змінюватись за величиною і напрямом. Тому розглянемо таке мале переміщення , точки прикладання сили, щоб її вважати сталою, тоді елементарна робота цієї сили дорівнює:
. (4.2.1)
При обертальному русі для всіх точок тіла є однаковими кутові кінематичні величини, тому враховуючи, що , будемо мати:
. (4.2.2)
Опустивши перпендикуляр на напрям, маємо, що довжина цього перпендикуляру дорівнює:
. (4.2.3)
Ця найкоротша відстань від осі обертання тіла до напряму дії сили отримала назву момент сили , а добуток сили на плече називається моментом сили:
. (4.2.4)
Треба зауважити, що при такому означенні моменту сили маємо на увазі момент сили відносно нерухомої осі і такий момент сили є скалярною величиною.
Ввівши поняття моменту сили, вираз елементарної роботи прийме вигляд:
. (4.2.5)
За рахунок цієї роботи змінюється кінетична енергія обертального руху даного тіла
. (4.2.6)
Враховуючи, що , а , то
. (4.2.7)
Так як , то
(4.2.8)
або .
Отримали рівняння, яке називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання у скалярній формі.
Кутове прискорення тіла при його обертальному русі відносно нерухомої осі обертання пропорційне прикладеному до цього тіла моменту сили і обернено пропорційне моменту інерції цього тіла.
Якщо порівняти це рівняння з ІІ законом Ньютона, то бачимо, що замість лінійного прискорення маємо кутове прискорення , замість сили , момент сили , а роль маси грає момент інерції тіла . Отже, момент інерції тіла є мірою інертності тіла при його обертальному русі відносно зміни кутової швидкості.
Т ак, як кутове прискорення вектор, то в динаміці обертального руху момент сили, що надає кутового прискорення тілу теж повинен бути вектором. Ще раз звертаючись до рівнянь 4.2.3 та 4.2.4 бачимо, що плече сили – це просто відстань, а момент сили – добуток модуля сили на цю відстань. А тепер перейдемо до векторного опису динаміки обертового руху тіла. Як і у попередньому випадку, сила , прикладена у точці В, але у даному випадку ця точка прикладання сили визначається радіусом-вектором . Якщо здійснити паралельне перенесення вектора (на рисунку 4.2.2 це показано пунктиром), то бачимо, що – це кут між вектором сили і радіусом-вектором, який визначає точку прикладання сили. Тоді плече сили у рівнянні 4.8 можна виразити не через кут , а через кут :
, (4.2.9)
у результаті чого модуль моменту сили буде дорівнювати:
. (4.2.10)
Згадаємо елементарну векторну алгебру – скалярний добуток двох векторів визначається через косинус кута між ними, а модуль векторного добутку – через синус такого кута. Так що вираз 4.2.4 немає ніякого відношення до добутку векторів, адже у цьому виразі кут – це не кут між векторами, а кут між напрямом сили і переміщенням точки прикладання сили. Зовсім інша справа – співвідношення 4.2.10, де входить синус кута між векторами сили та радіуса-вектора, тобто це співвідношення не що інше, як модуль векторного добутку цих векторів. Тепер залишається вияснити, як записати векторний добуток: чи , адже від цього залежить напрям вектора моменту сили. Якщо для поступального руху тіла вектор його лінійного прискорення співпадає з напрямом вектора сили, то при обертовому русі тіла напрям кутового прискорення повинен визначатись напрямом вектора моменту сили. Якщо уважно розглянути рис.4.2.2б, де вказані напрями векторів кутового прискорення та моменту сили, то лише векторний добуток вигляду
(4.2.11)
задовольняє цій умові. Справді, користуючись правилом свердлика (правий гвинт), як вказано на цьому ж рисунку (позиція б), поступальний рух свердлика при даному напрямі обертання вказує напрям вектора моменту сили або можна застосувати правило правої руки (позиція г). Отже, у векторному виді основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла прийме наступний вигляд:
. (4.2.12)
Ввівши поняття моменту імпульсу, як буде показано далі, прийдемо до найбільш загального формулювання основного рівняння динаміки обертального руху у векторній формі.