6. Момент інерції тонкостінної сфери

Тонкостінна сфера – це тіло сферичної форми, товщина стінок якої значно менша радіуса самої сфери. На рис.4.4.6 показано таку тонкостінну сферу з вирізом, який показує, що всередині сфера порожня. Радіуси зовнішньої та внутрішньої поверхонь тонкостінної практично можна вважати однаковими і якщо цей радіус , то площа такої сфери дорівнює . Якщо маса сфери , то відношення

(4.4.26)

дає поверхневу густину – масу одиниці її площі – . Значення поверхневої густини тонкостінної сфери буде корисним для визначення її моменту інерції. Так, тонкостінну сферу ми будемо «різати» на тонкі смужки радіуса , тобто довжиною , і шириною – вистою, як вказано на рис.4.4.6. При площі такої кільцевої смужки та поверхневій густині її маса дорівнює

. (4.4.27)

Момент інерції виділеного кільця становить

. (4.4.28)

Для подальшого інтегрування приведемо праву частину рівняння до однієї змінної, враховуючи, що

. (4.4.29)

Тоді момент інерції даної тонкостінної сфери буде дорівнювати інтегральній сумі моментів інерцій всіх елементарних кілець, де межею інтегрування буде , потім, як і для суцільної кулі, переходимо «екватор» радіуса і далі виходимо на «верхній полюс», тобто верхня межа інтегрування :

. (4.4.30)

Виконавши інтегрування, отримаємо наступний результат – момент інерції тонкостінної сфери відносно осі обертання, що проходить через її центр дорівнює:

. (4.4.31)

М ожна було б продовжувати вивід моменту інерції тіл правильної геометричної форми відносно осі обертання, що проходить через їх центр їх мас. Добре, ми потратили час на розрахунок такого моменту інерції відносно осі, що проходить через центр мас тіла, а тіло обертається відносно осі, яка паралельна осі, що проходить через центр мас. Так що, знову починати розбивати тіло на елементарні частини чи то матеріальні точки чи елементарні кільця або диски? Ні, не треба, говорить теорема Штейнера (яку подаємо без доведення). А саме: якщо відомий момент інерції тіла масою відносно осі обертання ОО, яка проходить через центр маси тіла (точка С), то момент інерції цього ж тіла відносно паралельної осі на відстані (рис.4.4.7).

. (4.4.32)