5 Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса
Математикам
простіше, ніж фізикам, вони мають справу
з абстрактними величинами, голими
цифрами. Що каже математик відносно
векторного поля?
Він говорить – кожна точка простору
характеризується певним вектором, і
цей вектор математик позначає символом
,
а далі математик встановлює основні
характеристики даного векторного поля.
Якщо в кожній точці простору вектор
даного поля однаковий (за
величиною і
напрямом),
то таке
поле однорідне.
Графічно дане поле можна зобразити
паралельними лініями, а чи не нагадують
такі паралельні лінії, та ще й зі
стрілочками, лінії течії рідини? Тобто,
якщо в такому однорідному полі знаходиться
контур, як вказано на рис 2.3.16, то через
його площу ніби тече рідина. Отже,
підходимо до поняття потоку вектора.
Так, якщо в однорідному полі вектора
знаходиться контур, орієнтований
перпендикулярно до даного вектора,
потік вектора через площу такого конура
дорівнює
.
(2.3.24)
Якщо ж контур орієнтований не перпендикулярно до ліній поля, то потік через поверхню такого контура буде рівним
,
(2.3.25)
де
– кут
між вектором
та перпендикуляром
до поверхні. Потік вектора – скалярна
величина, а в добуток, що визначає цей
потік входить модуль вектора, отже,
потік вектора повинен бути скалярним
добутком двох векторів. Один з них –
це, як кажуть, власною персоною вектор
.
А другий вектор де?
Щось не видно. Не біда, ми зараз його
зробимо, адже для цього є математична
підказка –
.
Дійсно, скалярний добуток двох векторів
визначається функцію косинуса кута між
ними. Отже, приступаємо до роботи –
створюємо другий вектор під назвою
,
який дорівнює добутку значення площі
контуру (лише числовому значенню) на
одиничний вектор
,
перпендикулярний до площі контуру
.
(2.3.26)
Отже, потік вектора як скалярний добуток двох векторів запишеться у вигляді
.
(2.3.27)
Для графічного
зображення векторного поля в математиці
використовують метод векторних ліній.
По-перше: векторне поле – це область
простору, де його кожна точка
характеризується відповідним вектором
(в математиці це абстрактний вектор, у
фізиці це може бути вектор швидкості,
прискорення, напруженості поля і т.п.).
Векторна лінія – це така лінія, дотична
до якої в кожній точці співпадає з
вектором поля саме в даній точці (у
фізиці це силові лінії). Для однорідного
поля векторні лінії є паралельними
прямими з однаковою густиною (однаковим
числом цих ліній через одиничну площадку).
Якщо поле неоднорідне, то векторні лінії можуть бути довільними кривими, так що значення вектора поля в різних точках буде різним (рис.2.3.17). Щоб і підрахувати потік вектора неоднорідного векторного поля через довільну поверхню спочатку вибирають такий малий елемент поверхні , щоб у межах цього елементу поле вважати однорідним і тоді елементарний потік через таку елементарну поверхню буде становити
.
(2.3.28)
Весь
потік через їхню поверхню
знайдеться як інтегральна сума
,
(2.3.29)
де інтегрування проводиться по всій поверхні
Далі математика ставить таке питання – кожна точка простору векторного поля характеризується відповідним вектором і цей вектор дотичний до векторної лінії. А звідки виходять чи куди входять векторні лінії, що являється «джерелом» векторного поля? Якщо «джерело» векторного поля охопити довільною замкнутою поверхнею, то, очевидно, що число векторних ліній, що перетинають таку поверхню не залежить від форми цієї поверхні і така поверхня називається Гаусовою (Іоган Карл Фрідріх Гаусс 1777-1855р., видатний німецький математик і фізик, його крилаті слова: математика – царівна наук, арифметика – царівна математики). Назвавши ім’я Гуса та гаусову поверхню, ми тим самим підходимо до теореми, яка дає відповідь на поставлене питання про джерело векторного поля. Ця теорема не без підстав ще називається теоремою Остроградського –Гауса, так як над її доведенням працював відомий вчений Остроградський (1801-1861р.), якого називають видатним українським і російським математиком. Остроградський народився в полтавській губернії, навчався у Харківському університеті, потім продовжував навчання у Парижі і після того всі його останні роки були пов’язані з Петербургом. А тепер конкретно по теорему Остроградського – Гауса.
Нехай джерело
векторного поля охоплює довільна
замкнута поверхня, як вказано на
рис.2.3.18.
Потік вектора (2.3.36) через довільну замкнуту поверхню дає на сумарну (інтегральну) характеристику даного поля, тобто скільки всього з цієї поверхні виходить (або входить) векторних ліній. А що там «робиться» всередині поверхні, яка її частина вносить найбільший вклад у створення векторного поля? Наприклад, глянемо, що «робиться» у точці Р.
Для цього будемо стягувати, як вказано на рис.2.3.18 замкнуту поверхню у вибрану точку Р, і при цьому визначати границю, до якої прямує потік вектора через поверхню, що стягується у точку до об’єму стягуваної поверхні. Така границя називається дивергенцією вектора векторного поля у даній точці простору
.
(2.3.37)
Слово дивергенція від латинського divergere, що значить розходження. Тобто, дивергенція вектора даного векторного поля в даній точці показує, як з даної точки розходяться векторні лінії, наскільки «продуктивна» дана точка у створенні поля. Наприклад з малого отвору витікає вода. Чим більше води за однаковий час витикає, тим більша дивергенція вектора швидкості.
Значить, знаючи дивергенцію векторного поля у нескінченно малому об’ємі, можна визначити потік вектора через замкнуту поверхню, що охоплює об’єм V
.
(2.3.38)
Цей вираз є теоремою Остроградського – Гауса, яка говорить про те, що потік векторного поля через замкнуту поверхню (ліва частина рівняння) дорівнює повній «продуктивності» джерел цього поля, які знаходяться всередині поверхні (права частина рівняння).
А тепер застосуємо цю теорему для гравітаційного поля Землі.