5.5 Течія Пуазейля. Формула Пуазейля

Пуазейль, як лікар, вивчав рух крові у судинах, розглядаючи їх як круглі труби, де плин крові як в’язкої рідини відбувається за рахунок різниці тисків. Виведена Пуазейлем для такої течії формула має надзвичайне велике практичне значення не тільки для плину крові, але і для будь-якої в’язкої рідини. Особливо це стосується розрахунків трубопровідного транспортування в’язких нафтопродуктів.

Принцип виведення формули Пуазейля ілюструє рисунок 5.5.1. Так, якщо через круглу трубу протікає в’язка рідина, то біля самої стінки рідина «прилипає» до поверхні стінки і швидкість дорівнює нулю. В центрі труби швидкість рідини буде максимальна, що зображено відповідною епюрою швидкостей. Тому потік рідини можна розбити на окремі коаксіальні циліндричні потоки шириною (коаксіальні, від латинського axis – вісь + со – співпадати). У даному випадку течію рідини можна уявити як відносний рух окремих циліндричних кільцевих потоків, і така течія називається течією Пуазейля.

У межах такого нескінченно тонкого циліндра градієнт швидкості можна вважати сталим і тоді сила внутрішнього тертя, що діє на бічну поверхню коаксіального циліндра потоку рідини дорівнює:

(5.5.1)

де – площа бічної поверхні циліндричного потоку довжиною та радіуса . Швидкість рідини зменшується з відстанню від центра труби, тому похідна від’ємна, а її модуль дорівнює (модуль від’ємного числа дорівнює цьому числу, взятого з протилежним знаком). Тому

. (5.5.2)

«Змушує» рухатись рідину сила тиску, яка дорівнює

, (5.5.3)

де – різниця тисків на кінцях туби, – площа поперечного перерізу кільця радіуса . При рівномірному русі сила внутрішнього тертя за модулем дорівнює прикладеній силі тиску, тобто

. (5.5.4)

Розділивши змінні, отримаємо диференціальне рівняння

, (5.5.5)

розв’язок якого дасть залежність . Проінтегрувавши отримане рівняння, будемо мати

. (5.5.6)

Сталу інтегрування С вибираємо з тієї умови, що на стінці труби, тобто коли швидкість рідини дорівнює нулю. Отже, при , коли :

. (5.5.7)

Підставивши це значення в 5.5.6 отримаємо залежність швидкості рідини у круглій трубі в залежності від відстані від центра труби

. (5.5.8)

Швидкість у центрі труби буде становити

(5.5.9)

Тоді, враховуючи цю швидкість, формулу 5.5.8 можна записати у вигляді

(5.5.10)

Звідси випливає, що при течії Пуазейля швидкість рідини у круглій трубі змінюється з відстанню від осі труби по параболічному закону, як вказано на епюрі швидкостей на рис.5.5.1.

За допомогою формули 5.5.8 можна підрахувати потік рідини , тобто об’єм, що протікає через поперечний переріз труби за одиницю часу. Так як швидкість рідини у різних точках труби неоднакова, то спочатку розіб’ємо поперечний переріз труби на елементарні кільця радіуса товщиною , де швидкість рідини можна вважати однаковою. Тоді елементарний потік рідини зі швидкістю через площу елементарного дорівнює:

. (5.5.11)

Підставивши значення швидкості (формула 5.5.8), будемо мати:

. (5.5.12)

Весь потік дорівнює інтегральній сумі таких елементарних потоків:

. (5.5.13)

Провівши інтегрування, отримаємо формулу:

, (5.5.14)

яка називається формулою Пуазейля. Слід відмітити, що цю формулу незалежно від Пуазейля вивів німецький фізик Ґоттгільф Ґаґен, і тому цю формулу ще називають законом Пуазейля – Ґаґена.