10. Який період обертання у горизонтальній площині тіла, підвішеного на нитці довжиною l, якщо нитка утворює з вертикаллю кут α?

Як і в попередній задачі, аналізуємо фізичні явища. Тіло зі швидкістю обертається по колу радіуса r значить є нормальне (доцентрове) прискорення

(2.7.41)

Згідно другого закону Ньютона повинна бути сила яка б тілу масою надавала такого прискорення

(2.7.42)

Н а тіло діє сила тяжіння та сила натягу нитки і їх рівнодійна надає нормального прискорення. Модуль цієї сили визначимо як катет прямокутного трикутника

. (2.7.43)

Так як в задачі стоїть питання про період обертання Т, то

. (2.7.44)

Тоді

. (2.7.45)

Так як ,то

. (2.7.46)

При малих кутах . Таким чином, період обертання у горизонтальній площині тіла, підвішеного на нитці, при малих кутах відхилення нитки від вертикалі дорівнює періоду коливання математичного маятника довжиною, рівної довжини даної нитки.

(2.7.47)

8. Закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційне поле

Математичний запис закону всесвітнього тяжіння Ньютона стосується взаємодії матеріальних точок. Для того, щоб розрахувати взаємодію тіл довільної форми, їх розбивають на такі малі елементи, щоб вважати їх матеріальними точками. Далі задача зводиться до знаходження результуючої векторної суми сил взаємодії між всіма точками тіл. Прикладом такого підходу для розрахунку гравітаційної взаємодії тіл буде наступна задача.

1 Визначити силу притягання між тонким кільцем радіуса r і масою м та матеріальною точкою масою m, яка знаходиться на відстані l від центра кільця.

Виділимо на кільці два діаметрально протилежні елементи довжиною та масою, як вказано на рисунку. Тоді на матеріальну точку масою M, що знаходиться на відстані від цих елементів діють однакові за модулем сили . Якщо розкласти ці сили на дві складові та , то складові мають протилежні напрями та їх рівнодійна дорівнює нулю. Додаються тільки складові . Отже, шукана сила притягання між даним кільцем та матеріальною точкою визначається інтегральною сумою

. (2.7.48)

Тобто, інтегрування проводиться по всіх елементах кільця. Тепер залишається визначити значення .

З простого тригонометричного співвідношення провести інтегрування, маємо

, (2.7.49)

а значення сили визначимо з закону тяжіння:

. (2.7.50)

Масу елемента зручно визначити через лінійну густину кільця – масу одиниці довжини .

Тому

. (2.7.51)

У результаті приходимо до означеного інтегралу, який дає величину гравітаційної взаємодії тонкого кільця та матеріальної точки:

. (2.7.52)

Якщо відстань а значно більша радіуса кільця, то і тоді розмірами кільця можна нехтувати, приймаючи його як матеріальну точку. Тобто, якщо розміри тіл значно менші відстані між ними, то розрахунок сили гравітаційної взаємодії можна проводити згідно закону тяжіння Ньютона, приймаючи ці тіла як матеріальні точки.

А тепер розглянемо випадок, коли одне з тіл ніяк не можна вважати при будь яких відстанях матеріальною точкою.