4.8 Короткий зміст основних питань динаміки обертового руху твердого тіла

1. Кінетична енергія обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла

Так як при поступальному русі тіла всі його точки мають однакову швидкість, то кінетична енергія тіла масою , що рухається зі швидкістю дорівнює . При обертовому русі лінійні швидкості точок тіла неоднакова. Визначаючи енергію обертового руху твердого як суму кінетичних енергій всіх його елементів та використовуючи зв'язок між лінійною і кутовою швидкостями отримуємо вираз:

Порівнюючи отриманий вираз з кінетичною енергією тіла при поступальному русі бачимо, що при обертовому русі роль маси виконує вираз, що стоїть у дужках, який позначають буквою І та називають моментом інерції тіла. Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції всіх його точок:

Фізичний зміст моменту інерції тіла отримуємо з основного рівняння динаміки обертового руху тіла.

2. Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла

Якщо для матеріальної точки або тіла при поступальному русі основним рівняння динаміки є другий закон Ньютона

,

то основне рівня динаміки обертового (4.4.32) руху твердого тіла має наступний вигляд:

.

Порівнюючи це рівняння з другим законом Ньютона бачимо, що замість сили момент сили , замість лінійного прискорення кутове прискорення і, найголовніше, замість маси , як міри інертності тіла при поступальному русі, маємо момент інерції І тіла. Отже, момент інерції тіла є мірою інертності тіла при його обертальному русі відносно зміни кутової швидкості.

Момент сили відносно точки прикладання сили як векторна величина визначається векторним добутком:

,

де – радіус-вектор точки прикладання сили .

У випадку обертання тіла відносно нерухомої осі обертання момент сили є скалярною величиною і дорівнює добутку модуля сили на її плече :

.

Плече сили – це найкоротша відстань від осі обертання до напряму дії сили.

3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

Враховуючи, що кутове прискорення тіла при обертовому русі дорівнює , основне рівняння динаміки обертового руху запишеться:

,

подібно як записується другий закон Ньютона . Якщо для поступального руху добуток маси тіла на швидкість називається імпульсом тіла , то для обертового руху добуто його моменту інерції на кутову швидкість має назву моменту імпульсу

.

Якщо для замкнутої системи виконується закон збереження імпульсу , то має місце аналогічний закон збереження моменту імпульсу.

Якщо на систему тіл, які обертаються, не діють зовнішні моменти сил або їх векторна сума дорівнює нулю, то момент імпульсу системи залишається сталою величиною:

Закон збереження моменту імпульсу є одним з фундаментальних законів збереження у природі і в основі збереження моменту імпульсу лежить ізотропність простору – це значить однаковість його властивостей в усіх напрямах. Тут однаковість слід розуміти, що поворот замкнутої системи, як цілого, не змінює її механічних властивостей.