5. Деформація стиснення (або розтягу).
Д
еформація
усестороннього стиснення (або розтягу)
виникає при рівномірному розподілі
стискуючих або розтягуючих сили по
всій поверхні тіла. Наприклад, до тіла
у вигляді куба до всіх його поверхонь,
як показано на рис.6.1.13, прикладено
однакові сили. Кількісною характеристикою
такого виду деформації є відносна зміна
об’єму тіла, як відношення абсолютної
зміни об’єму
до попереднього (початкового) значення
об’єму
.
Згідно закону Гука, відносне зменшення
або збільшення об’єму ізотропного
тіла пропорційне виникаючому у тілі
механічному напруженню
:
,
(6.1.11)
де
– модуль пружності даного тіла, який
чисельно дорівнює такому механічному
напруженні, при якому відносна зміна
об’єму тіла дорівнювала би одиниці,
якщо б виконувався лінійний закон
деформації Гука.
Для опису
деформацій стиснення або розтягу при
нерівномірному розподілі прикладених
до тіла сил використовуються елементи
тензорного числення. Про поняття тензору
інерції йшла мова у розділі «Динаміка
обертального руху твердого тіла», де
розглядався тензор моменту інерції. А
тепер на прикладі деформації гірської
породи введемо поняття тензору
механічного напруження. Наприклад на
глибині
знаходиться нафтовий пласт (рис.6.1.14),
який зазнає нерівномірного механічного
напруження, викликане породами різної
густини та товщини над цим пластом.
Виділимо елемент такого пласта у вигляді
куба, де на рис.6.1.14 червоними стрілками
вказані напрями механічний напружень.
Розкладемо ці механічні напруження на
окремі компоненти, які відносяться до
протилежних граней куба по відповідним
осям координат. Так, на верхню (жовту)
грань куба з координатою
механічне напруження
Р
«тисне
вниз» з нормальним напруженням
і «хоче зсунути» цю грань у напрямі осі
ОХ тангенціальними (дотичним) напруженням
та у напрямі осі OY
тангенціальним напруженням
.
Аналогічно можна визначити напруження,
що діють на інші грані виділеного
елементу. Таким чином, механічне
напруження у виділеному елементі буде
визначатись сукупністю з дев’яти
напружень – три нормальні напруження
та шість тангенціальних напружень.
Сукупність цих напружень, які записуються
у вигляді матриці, називається тензором
напружень:
. (6.1.11)
Компоненти
тензора механічних напружень
дорівнюють відношенню компонента сили
,
що діє перпендикулярно на елементарну
площадку
до її площі
.
Таким чином, сила, яка діє на деякий
об’єм дорівнює інтегралу тензора
напружень на межі цього об’єму по його
поверхні
.
(6.1.12)