2.3.1 Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння

Німецький астроном Іоаган Кеплер (1571-1630р.), вивчаючи рух планет і користуючись астрономічними даними датського астронома Тихо Браге провів дійсно титанічну роботу. Вісім років виснажливих розрахунків (йому б навіть простий сучасний калькулятор) дали можливість встановити три фундаментальні закони руху планет, з яких безпосередньо випливає закон Всесвітнього тяжіння

1. Планети рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. (У другому фокусі еліпса немає нічого, рис.2.3.4).

Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка – афелієм.

Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра до довжини великої півосі (середньої відстані планети до Сонця). Коли фокуси й центр збігаються, еліпс перетворюється в коло. Орбіти планет – еліпси, які мало відрізняються від кіл: їхні ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0,017.

2. Радіус-вектор – відрізок прямої лінії, що з'єднує Сонце з планетою описує за однакові проміжки часу однакові площі.

Площа, яку описує радіус- вектор за одиницю часу називається векторіальною швидкістю. Лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її орбіти. Швидкість планети під час її руху по орбіті тим більша, чим ближче вона до Сонця. У перигелії швидкість планети найбільша, в афелії найменша.

З точки зору класичної механіки, другий закон Кеплера є проявом закону збереження моменту імпульсу, про що буде йти мова в розділі «Динаміка обертового руху».

3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісей їх орбіт:

. (2.3.1)

Якщо б планети рухались не по еліпсам, а по круговим орбітам, то вже з третього закону Кеплера можна було б встановити, що планети притягуються до Сонця з силою, яка обернено пропорційна квадрату відстані від Сонця. Наприклад, дві планети масами і (може бути Земля і Марс) обертаються по круговим орбітам радіуса і . При обертовому русі тіла по колу існує доцентрове прискорення (див. розділ І)

. (2.3.2)

Тоді, згідно ІІ закону Ньютона, будемо мати:

. (2.3.3)

Якщо порівняти відношення сил та , які діють на дві планети, то

. (2.3.4)

Згідно третього закону Кеплера отримуємо:

. (2.3.5)

Таким чином, сила, з якою планети притягуються до Сонця, справді обернено пропорційні квадрату відстані до Сонця.

Так ось, Ньютон на основі законів Кеплера встановив, що сила, з якою планети притягуються до Сонця, обернено пропорційна квадрату відстані до Сонця і, найголовніше, узагальнив цей закон притягання для будь-яких тіл, стверджуючи, що «кожен об'єкт у Всесвіті притягує кожен інший об'єкт». Звідси назва – закон Всесвітнього тяжіння, який має наступне сучасне формулювання:

Дві матеріальні точки масами і притягуються одна до одної з силою, яка прямо пропорційна добутку мас цих точок і обернено пропорційно квадрату відстані r між ними

. (2.3.6)

В цьому законі G – гравітаційна стала,, яка чисельно дорівнює силі притягання між точковими тілами масою 1 кг на відстані 1 м і значення цієї сталої можна визначити лише експериментально, про що мова буде йти дещо пізніше.

у векторній формі цей закон записується у вигляді

, (2.3.7)

де – сила, з якою друга матеріальна точка притягує першу, - одиничний вектор (орт), напрямлений від першої матеріальної точки до другої, як вказано на рис.2.3.5.

Сила відрізняється від сили знаком, .

Дещо пізніше будемо говорити, чому всі тіла притягуються, сам Ньютон навіть не ставив питання про причину гравітації. А тепер з’ясуємо роль маси в законі тяжіння, адже в другому законі Ньютона теж використовується поняття маси. Виникає питання чи однакові, чи подібні ці маси. А то як в гуцульському анекдоті – один гуцул поїхав в Київ і розказав другому де був, що бачив і, між іншим, розказав про зоопарк, про тварин, яках звичайно немає в Карпатах. Каже – бачив жирафу. А яка вона, питає другий, ну розумієш, коня бачив – бачив ну подібне, тільки шия довга. Так само зебра, як кінь, тільки зі смугами. А крокодила бачив, який він – питає другий. Ти розумієш, пояснює перший, коня бачив – бачив – так крокодил зовсім не подібний до коня. Точно як з масою – бачимо букву m в другому законі Ньютона? Бачимо, а тепер гляньте на закон тяжіння Ньютона – така ж сама буква m, але зовсім не подібна на масу у другому законі Ньютона. Справді, якщо б маса в другому законі Ньютона могла говорити, то вона б навіть кричала – не чіпайте мене, дайте мені спокій, не хочу, не буду змінювати свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, тільки зовнішня сила змушує змінити цей стан, чим більше я маю кілограмів, тим я інертніша (або в перекладі з латині на українську – лінивіша). В законі тяжіння маса характеризує принципово нову властивість тіл – властивість притягання. Чим більша моя маса, каже тіло, тим з більшою силою я притягаю інші тіла, і цю мою масу в законі тяжіння вже не називають «лінивою», а гравітаційною масою. Гравітація, від латинського gravitus , що значить важкий (звідси назва одиниці маси грам), тому в багатьох випадках масу в законі тяжіння Ньютона називають важкою масою. Кілограми інертної маси і кілограми гравітаційної маси зовсім різні речі, хоча вимірюються в одних і тих самих одиницях (продовжуючи попередній жарт можна сказати, що маса коня і крокодила можуть бути однакові, але кінь зовсім не подібний до крокодила, або як ще кажуть в Одесі –«это две большие разницы»). Жарти жартами, але питання про еквівалентність інертної і гравітаційної маси є наріжним каменем загальної теорії відносності Ейнштейна, про яку ми теж будемо згодом говорити. На закінчення розгляду питання закону Всесвітнього тяжіння доцільно порівняти цей закон з законом Кулона електростатичної взаємодії зарядів

. (2.3.8.)

Бачимо повну математичну аналогію в тому розумінні, що сила електростатичної взаємодії, як і гравітаційної, обернено пропорційна відстані між зарядами, тільки в чисельнику замість мас тіл маємо електричні заряди. Тому, продовжуючи таке порівняння, інколи говорять, що маса тіл є своєрідним гравітаційним зарядом.