- •6.040103 – «Геологія»
- •1 Кінематика
- •1.1 Кінематика матеріальної точки
- •Система відліку
- •1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки
- •1.1.3 Рівномірний рух. Швидкість рівномірного руху
- •1.1.4 Нерівномірний рух. Середня швидкість. Миттєва швидкість
- •1.1.5 Рівнозміний рух. Прискорення. Змінний рух. Миттєве прискорення
- •1.1.6 Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення
- •Абсолютно тверде тіло та число ступенів його свободи
- •1.3 Кінематика обертального руху твердого тіла
- •1.3.1 Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання. Вектор кутового переміщення. Кутова швидкість. Кутове прискорення.
- •1.3.2. Зв'язок між кутовими і лінійними кінематичними величинами обертального руху
- •1.4 Кінематика відносного руху. Переносне прискорення. Прискорення каріоліса
- •1. Чим більша відстань від центра обертання, тим більша лінійна швидкість обертання. Тобто, маємо зміну швидкості, викликану лише переміщенням точок .
- •1.5 Короткий зміст основних питань кінематики
- •4. Способи опису руху матеріальної точки:
- •6. Миттєва швидкість
- •7. Рівнозмінний рух. Прискорення.
- •8. Змінний рух. Середнє прискорення. Миттєве прискорення.
- •9. Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення.
- •10. Поступальний рух тіла.
- •11. Обертальний рух тіла.
- •16. Кутове прискорення.
- •17. Зв'язок між лінійними і кутовими кінематичними величинами обертового руху.
- •3. Одна пряма рухається паралельно сама собі з швидкістю v1, а друга – зі швидкістю v2.. Питання: з якою швидкістю v3 рухається точка перетину цих прямих?
- •2.Задачі на рівно змінний рух
- •1. Автомобіль проходить гальмівний шлях 20 м. Визначити час руху автомобіля до зупинки та модуль прискорення, якщо початкова швидкість 54 км/.
- •3. Град, падаючи з хмари за останню секунду свого падіння пролітає шлях, що становить 0,19 всієї висоти. Визначити час падіння та висоту, з якає падає град. Опором повітря нехтувати.
- •3 Рух тіла, кинутого горизонтально
- •4 Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
- •5.Задачі на середню і миттєву швидкість та миттєве прискорення
- •2. Першу половину часу автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину часу з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •3. Першу половину шляху автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину шляху з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •6.Задачі кінематики обертального руху
- •1. Колесо починає обертатись зі стану спокою і, зробивши 100 обертів, досягає кутової швидкості 62,8 рад/с. Вважаючи рух рівноприскореним, визначити час та кутове прискорення даного обертового руху.
- •4. У вибраній системі відліку з декартовими координатами кінематичні рівняння матеріальної точки мають наступний вигляд:
- •5. Задача-тест.
- •1.7 Контрольні питання з кінематики
- •2 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони ньютона. Сили в механіці. Гравітація
- •2.1 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони Ньютона
- •2.2 Сили в природі. Сили в механіці
- •2.2.1 Сили тертя
- •2.2.2 Сили пружності
- •2.3 Гравітація
- •2.3.1 Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння
- •3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісей їх орбіт:
- •2.3.2 Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша
- •2.3.3 Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •4 Гравітаційне поле. Напруженість гравітаційного поля
- •5 Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса
- •6 Гравітаційне поле Землі (поле тіла сферичної форми)
- •7 Аномалії гравітаційного поля Землі. Поняття про гравітаційну
- •2.4 Рух тіл в полі тяжіння. Вага тіла. Невагомість. Штучні супутники
- •2.4.1 Вага тіла
- •2.4.2 Рух тіла у полі тяжіння у вертикальному напрямі. Перевантаження. Невагомість
- •2.4.3 Криволінійний рух тіла у полі тяжіння
- •2.4. 4 Вплив обертання Землі на вагу тіл
- •1 Тіло на полюсі
- •2 Тіло на екваторі
- •3 Тіло на довільній широті
- •5 Штучні супутники Землі
- •2.6 Короткий зміст основних питань динаміки
- •3. Сили в природі. Сили в механіці.
- •4. Сили тертя.
- •5. Сили пружності.
- •6. Закони Кеплера.
- •Планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (рис.2.4.2).
- •7. Закон Всесвітнього тяжіння
- •8. Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша.
- •9. Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •10. Гравітаційне поле
- •10. Вага тіла
- •1. Потік вектора
- •2.7 Приклади розвязування задач
- •1. Рух тіла в горизонтальному напрямі під дією декількох сил
- •2. Дано:
- •5. Рух тіла під дією змінної сили.
- •6. Рух тіла по похилій площині
- •7. Динаміка руху тіла по колу
- •Випадок руху тіла по колу у вертикальній площині – рух тіла на нитці.
- •10. Який період обертання у горизонтальній площині тіла, підвішеного на нитці довжиною l, якщо нитка утворює з вертикаллю кут α?
- •8. Закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційне поле
- •1 Визначити силу притягання між тонким кільцем радіуса r і масою м та матеріальною точкою масою m, яка знаходиться на відстані l від центра кільця.
- •2. Матеріальна точка масою m знаходиться на віддалі a від нескінченно довгої тонкої нитки з лінійною густиною . Визначити силу, з якою притягаються така нитка і тіло точкової маси.
- •2.7 Контрольні питання з динаміки
- •3. Закони збереження в механіці
- •3.1 Закон збереження імпульсу
- •3.2 Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3.3 Реактивний рух
- •3.4 Реактивний рух в природі. Живі ракети
- •3.5 Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •3.6 Енергія. Загальний підхід до поняття енергії
- •3.7 Кінетична енергія матеріальної точки (тіла) при поступальному русі
- •3.8 Робота сил тяжіння. Потенціальна енергія тіла в полі тяжіння
- •3.9 Закон збереження енергії в механіці
- •3.10 Застосування законів збереження до співудару двох тіл
- •3.11 Основні напрями альтернативної енергетики
- •1. Вітроенергетика
- •2. Геліоенергетика
- •3. Геотермальна енергетика
- •1. Вітроенергетика
- •2. Альтернативна гідроенергетика
- •3.12 Короткий зміст основних питань законів збереження в механіці
- •1. Закон збереження імпульсу
- •2. Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3. Реактивний рух
- •4. Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •5. Енергія. Кінетична і потенціальна енергія
- •6. Закон збереження енергії в механіці.
- •3.13 Приклади розв’язування задач
- •1. Імпульс. Закон збереження імпульсу
- •1. М’ячик масою 200 г вільно падає з висоти 5м на горизонтальну поверхню. Вважаючи удар абсолютно пружним, визначити зміну імпульсу при такому ударі (рис.3.13.1).
- •3. Два тіла рухаються назустріч одне одному з швидкостями . Після абсолютно непружного удару ці тіла стали рухатись разом з швидкістю . Визначити відношення мас цих тіл.
- •4. З самохідної гарматної установки загальною масою 8 т вистрілюють снаряд масою 5 кг зі швидкістю 1200 м∕ с під кутом 600 до горизонту. Визначити швидкість віддачі установки.
- •3.14 Контрольні питання
- •4 Динаміка обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.1 Кінетична енергія обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •4.2 Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.3 Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4.4 Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •3. Момент інерції однорідного диска або циліндра
- •4. Момент інерції конуса
- •5. Момент інерції однорідної суцільної кулі
- •6. Момент інерції тонкостінної сфери
- •4.5 Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •4.6 Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •4.7 Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.8 Короткий зміст основних питань динаміки обертового руху твердого тіла
- •Кінетична енергія обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла
- •3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4. Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •5. Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.9 Приклади розв’язування задач
- •2. Перевірка основного рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання.
- •5.2 Рівняння Бернуллі
- •5.3 Наслідки з рівняння Бернуллі
- •5.3.1 Швидкість витікання рідини через невеликий отвір
- •5.3.2 Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії
- •5.3.3 Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці
- •5.4 Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість)
- •5.5 Течія Пуазейля. Формула Пуазейля
- •5.6 Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •5.7 Елементи реології
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи
- •2 Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3 Метод Стокса
- •5.8 Короткий зміст основних питань механіки рідин і газів
- •8. Наслідки з рівняння Бернуллі.
- •2. Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії.
- •3. Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці.
- •4. Природні явища, де мають місце наслідки з рівняння Бернуллі.
- •9. Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість).
- •10. Течія Пуазейля. Формула Пуазейля.
- •11. Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •12. Елементи реології.
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи.
- •Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •1. Капілярні віскозиметри
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3. Метод Стокса
- •5.9 Приклади розв’язування задач
- •1. Швидкість течії води у широкій частині труби дорівнює 20 см ∕с. Яка швидкість течії у вузькій частині, що має діаметр у 4 рази менший від діаметра широкої частини?
- •2 . З отвору площею поперечного перерізу зі швидкістю у вертикальному напрямі витікає струмина рідин. Якою буде площа поперечного перерізу струмини на висоті ?
- •6 Механічні властивості твердих тіл
- •6.1 Основні види пружних деформацій твердого тіла
- •1. Одностороння деформація розтягу (стиснення).
- •2. Деформація зсуву.
- •3. Деформація кручення.
- •4. Деформація прогину.
- •5. Деформація стиснення (або розтягу).
- •6.2 Твердість тіл
2.2.1 Сили тертя
Тертя не є якимось особливим видом взаємодії, а зумовлене, як і більшість процесів у макросвіті, електромагнітною взаємодією. Дійсно, якщо одне тіло зі скрипом рухається по поверхні іншого тіла, то це не значить, що молекули чи атоми другого тіла в буквальному розумінні труться об атоми першого тіла, між ними в масштабах мікросвіту значна віддаль. Атоми чи молекули взаємодіють електричними полями. А скрип при терті – це результат того, що при відносному русі тіл молекули чи атоми тіл відхиляються від попереднього положення, а потім стрибком повертаються назад, здійснюючи такі негармонічні коливання, які викликають характерний звук. Хто не чув, як скриплять не змащені двері, навіть в українській пісні про це співається «на двері воду лила, щоби не скрипіли». Якщо вже мова пішла про пісню про тертя, то чому не розглянути їх музичне супроводження, теж за рахунок тертя, а саме – гру на скрипці. Коли вести смичок по струнах скрипки, то саме за рахунок тертя струна тягнеться з смичком а потім зривається і повертається назад Цей процес періодично повторюється при русі смичка, а такі характерні коливання струни дають всім відоме звучання скрипки (такі коливання називаються автоколиваннями).
Питання тертя мають надзвичайно велике практичне значення, тому ними займається окрема спеціальна дисципліна – трибологія (від грецького tribos – тертя), маючи велике практичне значення. Розрізняють зовнішнє та внутрішнє тертя. Зовнішнє тертя – механічний опір, який виникає в площині дотику двох притиснутих один до одного тіл при їх взаємному переміщенні. Внутрішнє тертя зумовлено взаємним переміщенням шарів тіла одне відносно іншого. В розділі «Механіка рідин і газів» питанням внутрішнього тертя буде надана особлива увага, а поки що розглянемо зовнішнє тертя. Зовнішнє тертя, в свою чергу, розрізняється на тертя ковзання та тертя кочення. Почнемо з тертя ковзання, без якого в буквальному розумінні не можна ступити ні кроку (згадаймо ходьбу в ожеледицю).
Якщо тіла, що взаємодіють, не розділені додатковими шарами, то тертя, яке виникає в такому випадку між тілами, називається сухим. Внаслідок нерівностей та поверхонь кожного з тіл, їх дотик відбувається в так званих окремих «плямах», які зосереджені на вершинах виступів. Характерною властивістю сухого тертя є наявність максимальної сили тертя спокою. З такою максимальною силою сили тертя спокою ми часто стикаємось в побуті, наприклад зсуваючи з місця меблі. Спочатку треба зсунути шафу з місця а потім вона «сунеться» легше. Причина проста: в стані спокою між ніжками шафи та підлогою є багато «плям», зсуваючи шафу ми, по суті, руйнуємо нерівності, тим самим зменшуючи тертя. На рис. показано таку залежність сили тертя від зміщення.
На рис.2.2.1 наведено графік залежності сили тертя ковзання від зміщення.
Ділянка 1 відповідає зростанню сили тертя спокою до максимального значення і має місце при дуже малому зміщенню , порядку 10-6 м, Після того як прикладена сила перевищить критичне значення, сила тертя дещо зменшиться (ділянка 2) і далі вже практично не залежить від переміщення (ділянка 3).
Кількісною характеристикою тертя ковзання є коефіцієнт тертя ковзання, поняття якого вводиться наступним чином. Так, якщо одне тіло рівномірно ковзає по поверхні другого тіла, як вказано на рис.2.2.2., то дотична сила F, яку рухає дане тіло дорівнює силі тертя ковзання FТР. Звичайно, що згідно третього закону Ньютона до тіла, по якому відбувається даний рух буде прикладена така ж сама сила -Fтр .
Експериментально встановлено, що сила тертя ковзання не залежить від площі поверхонь, які дотикаються і пропорційна величині сили нормального тиску, з якою притискаються поверхні. Ця залежність була встановлена французьким фізиком Кулоном, називається законом Кулона для тертя
, (2.2.1)
де сила n – сила нормального тиску, сила з якою тіло тисне на дану поверхню і може бути зумов
лена вагою або іншими причинами (наприклад, тіло ще притискаємо до поверхні). З такою ж силою, але протилежною за напрямом ця опора діє на тіло (N- реакція опори ) (рис.2.2.2),
д е безрозмірний коефіцієнт називається коефіцієнтом тертя ковзання. Він залежить від природи і стану поверхонь тіл. Строго кажучи, цей коефіцієнт ще залежить від швидкості руху тіл, але при малих швидкостях його вважаємо сталим. Наприклад, для сталі по сталі = 0,2, для сталі по бронзі 0,05.
Якщо тіло масою m знаходиться на горизонтальній площині і зверху його не прискати до цієї площини, то сила нормального тиску дорівнює вазі тіла Fn= mg. А тепер перейдемо до загального випадку – тіло довільної форми знаходиться на довільній криволінійній поверхні, як вказано на рис.2.2.3.
А. В точці дотику тіло знаходиться подібно як на похилій площині з кутом нахилу . Силу тяжіння F=mg можна розкласти на дві складові:
- нормальну (перпендикулярну) та - тангенціальну(дотичну), яку інколи популярно називають «скочуючою силою».
Б. В площині дотику на тіло з боку площини діють реакція опори N та максимальна сила тертя FТР. Рівнодійна цих сил R складає з напрямом реакції опори кут , який називається кутом тертя. Геометричне місце всіх можливих напрямів максимального значення реакції опори утворює конічну поверхню, яка називається конус тертя. Якщо коефіцієнт тертя в усіх напрямах буде однаковий, то конус тертя буде круговим так,що
. (2.2.2)
Отже, найпростіший метод визначення коефіцієнта тертя ковзання – це метод визначення кута нахилу похилої площини, коли тіло, що знаходиться на ній, почне ковзати.
Сили тертя відіграють важливу роль в природі і в техніці. Можна говорити про корисну та шкідливу роль цього тертя. Завдяки силам сухого тертя втримуються разом деталі, скріплені цвяхами або шурупами, без тертя неможливо було б рухатись по дорозі (згадаймо ожеледицю) і т.д. В інших випадках тертя шкідливе, особливо в деталях машин і механізмів, які рухаються, що приводить до втрат енергії. Тому для зменшення сили тертя ковзання використовують різноманітні способи, наприклад мастила, де мастила заповнюють простір між тілами і сухе тертя замінюється меншим внутрішнім тертям між шарами рідини (мастила). Також, де є можливість, тертя ковзання заміняють тертям коченням. Якщо при терті ковзання, грубо кажучи, «зрізаються» нерівності, то механізм тертя кочення зовсім інший. Так, якщо по поверхні будь-якого тіла котиться колесо, то воно «втискується» в поверхню тіла, робить впадину, і колесу доводиться долати невеличкий виступ, який завжди при коченні уговорюється перед колесом, що є причиною тертя кочення, яке менше тертя ковзання.
Винахід колеса є одними з найважливіших і найстародавніших винаходів людства (ймовірно, в Месопотамії в 4 тисячолітті до н.е.). Перше колесо було дерев'яним диском з отвором в центрі, в який насаджувалася вісь.
Без заміни тертя ковзання на тертя кочення був би неможливий відомий шлях із варягів у греки («Грецький шлях») – назва основного водного торгового шляху Київської Русі, що зв'язував північні райони країни з південними руськими землями і скандинавські країни з Візантійською імперією у 9-12 віках. Це був шлях з Балтійського до Чорного моря, де доводилось перетягувати човни з однієї ріки в іншу (Двіна – Дніпро), тягнути волоком, підставляючи під них круглі колоди, тим самим заміняючи тертя ковзання значно меншим тертям кочення. Таку картину «волочіння» зображено художником Н.К.Реріхом (рис.2.2.4).
Це був короткий екскурс у історію. А тепер фізика тертя кочення. Нехай по горизонтальній поверхні котиться тіло сферичної форми радіусом . Під дією ваги тіла на горизонтальній поверхні з’являється впадина шириною , як це вказано на рис.2.2.5, стрілкою вказано напрям обертання тіла і тим самим напрям кочення. При коченні тіло завжди буде робити заглиблення і долати це заглиблення у точці , що зумовлює тертя кочення. При рівномірному русі прикладена до тіла в напрямі його руху сила дорівнює силі тертя кочення. Під дією зовнішніх сил циліндр буде котитись, як вказано на рис 2.2.5 направо, повертаючись в кожен момент навколо точки С, в якій діють сили реакції опори та тертя. При малій деформації, коли для розрахунків можна вважати, що точки А, В та С «зливаються» в одну точку. Тоді момент сили, що обертає диск, дорівнює моменту сили тертя
. (2.2.3)
І цей момент сили пропорційний реакції опори
, (2.2.4)
- коефіцієнт тертя кочення .
. (2.2.5)
Т обто, коефіцієнт тертя кочення вимірюється в одиницях довжини – в метрах.
У сучасних машинах і механізмах широкого застосування набули шарикопідшипники, де замість тертя ковзання має місце значно менше тертя кочення. Так, на рис.2.2.6. показано вал, що підтримується і обертається завдяки двом шарикопідшипникам, між якими знаходяться тіла кочення (стальні кульки – «шарики».
Продовжуючи тему кочення, зупинимось на цікавому унікальному природному явищі під назвою перекотиполе. Перекотиполе – це особливі утворення, які складаються з відмерлих і висохлих польових рослин. Суха стеблина, підхоплена вітром, починає обертатись і своїми гострими гілочками захоплює стебла та гілки інших росли, утворюючи кругле або циліндричне тіло, яке котиться під дією вітру (рис.2.2.7).